Um ponto move-se ao longo da interseção do plano
e do parabolóide elíptico
. Qual é a taxa de variação de
em relação a
quando o ponto estiver em
?
Passo 1
Beleza! O exercício pede para descobrir como a variável
muda em relação a
quando um ponto está se movendo na interseção do plano
e do parabolóide elíptico
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do parabolóide:
. Como o ponto está sempre no plano
, podemos substituir
por 1 nessa equação. Assim, a equação fica
, que simplifica para
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, a derivada de
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Finalmente, substituímos o valor de
pelo valor dado no ponto, que é 2. Então,
.
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
quando o ponto está em
é
.
Exercícios relacionados
Se
e
são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função
é solução da equação da onda
.
Seja
a) Mostre que
diverge para
.
Use derivação implícita para determinar
c)
c)
a) Mostre que