Se f e g são funções pares, f+g é par? Se f e g são funções ímpares, f+g é ímpar? O que se pode dizer se f for par e g for ímpar? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre funções pares e ímpares e o comportamento da soma delas. Nosso objetivo é descobrir se a soma de duas funções pares continua sendo par, se a soma de duas ímpares é ímpar, e o que acontece quando juntamos uma função par com uma ímpar. Para resolver isso, precisamos lembrar das definições de funções pares e ímpares e aplicar essas propriedades na soma das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares.
  • Função Par: Uma função é par se, para todo no domínio, . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se, para todo no domínio, . Isso significa que o gráfico da função tem simetria de rotação de 180 graus em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a soma de duas funções pares é par.
Se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) e são pares, então:
Como , a soma é uma função par.

Passo 4

Em seguida, vamos ver se a soma de duas funções ímpares é ímpar.
Se (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) e são ímpares, então:
Como , a soma é uma função ímpar.

Passo 5

Por fim, vamos analisar o caso onde (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) - g(x) é par e é ímpar.
Se é par e é ímpar, então:
Isso não é igual a nem a . Portanto, a soma não é nem par nem ímpar.

Resposta

  • Se e são funções pares, então é par.
  • Se e são funções ímpares, então é ímpar.
  • Se é par e é ímpar, não é nem par nem ímpar.

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