Um foguete (com massa inicial
) precisa usar seus motores para pairar estático, um pouco acima do solo. (a) Se ele pode desprender no máximo uma quantidade de massa
de seu combustível inicial, por quanto tempo ele pode pairar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete que precisa ficar parado no ar, ou seja, pairar. A gente precisa descobrir por quanto tempo ele consegue fazer isso, considerando que ele pode liberar até uma certa quantidade de massa de combustível. Esse problema está relacionado com a dinâmica de foguetes, que é parte da física que estuda como os foguetes se movem. Para resolver, vamos precisar entender como a força de propulsão gerada pela queima do combustível equilibra o peso do foguete.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para o foguete pairar, a força que ele gera para cima (a força de propulsão) precisa ser igual ao peso dele (a força da gravidade puxando para baixo). A força de propulsão
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a taxa de variação da massa, ou seja, a quantidade de massa que o foguete está desprendendo por unidade de tempo, e
é a velocidade de exaustão dos gases do motor.
Passo 3
O peso do foguete
é dado por:
Onde
é a massa inicial do foguete e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 4
Para que o foguete esteja pairando, as duas forças devem se igualar:
Então:
Passo 5
Sabemos que o foguete pode desprender uma massa máxima de
. Vamos considerar que ele desprende essa massa de maneira constante ao longo do tempo
. Então, a taxa de variação da massa
é:
Passo 6
Substituindo
na equação da força de propulsão:
Passo 7
Podemos simplificar
de ambos os lados da equação:
Passo 8
Agora, isolamos
para encontrar o tempo que o foguete pode pairar:
Resposta
O foguete pode pairar por um tempo
.
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, cuja face plana repousa sobre o plano
com o seu centro sobre a origem. O elemento de volume ás em coordenadas polares esféricas, é
. (Valor: 1,0 ponto)
Encontre a função inversa de
.
Um foguete (com massa inicial
) precisa usar seus motores para pairar estático, um pouco acima do solo. (b) Se
e
, por quanto tempo o foguete poderá pairar um pouco acima da superficie da Terra? (Valor: 1,0 ponto)
Se
e
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é par? Se
e
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for ímpar? Justifique suas respostas.