Prove as seguintes igualdades:
iii) 1 - 2 i = raiz(5) e^(-i arctan(2))

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa provar que é igual a . Isso envolve trabalhar com números complexos e transformá-los da forma retangular para a forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo de . O módulo de um número complexo é dado por . Aqui, e .
Então, o módulo é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento, que é o ângulo formado pelo número complexo com o eixo real. O argumento de é dado por .
Como o número está no quarto quadrante (parte real positiva e parte imaginária negativa), o ângulo é negativo. Portanto, podemos escrever:

Passo 4

Agora, usando a forma polar de um número complexo, que é , onde é o módulo e é o argumento, temos:

Resposta

Então, conseguimos provar que .

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