(f) lim x 0 sen(3 x) cotg(5 x)x^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Este exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e cálculo de limites. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades de , , e algumas regras básicas de limites.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão. Sabemos que limx to 0 sin(3x) cdot cos(5x)sin(5x)x^2 = limx to 0 sin(3x) cos(5x)x^2 sin(5x) é igual a . Então, podemos reescrever o limite como:

Passo 3

Agora, vamos separar os termos para facilitar a manipulação:
limx to 0 sin(3x)x cdot cos(5x)1 cdot 1x sin(5x)
Sabemos que , onde é uma constante. Vamos usar essa propriedade para simplificar cada parte.

Passo 4

Primeiro, consideramos limx to 0 sin(3x)x = 3 cdot limx to 0 sin(3x)3x = 3 cdot 1 = 3 . Então,

Passo 5

Em seguida, a parte tende a quando tende a 0.

Passo 6

Por último, analisamos 1x sin(5x) = 15x cdot 5xsin(5x) . Podemos reescrever isso como:
limx to 0 1x sin(5x) = 15 cdot 1 = 15
Sabemos que , então:

Resposta

Multiplicando todas as partes, temos:
3 cdot 1 cdot 15 = 35
Portanto, o limite é .

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