não é derivável em .

Passo 1

No enunciado, nos é informado que a função não é derivável em .
Conteúdo da matéria: Derivadas e critérios de derivabilidade.
O que vamos precisar para resolver: Entender o conceito de derivada, o que significa uma função ser derivável em um ponto e identificar possíveis razões que impedem a derivabilidade em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de em é definida por:
Para que seja derivável em , esse limite deve existir.

Passo 3

Se a função não é derivável em , isso significa que o limite acima não existe nesse ponto. Existem várias razões pelas quais o limite pode não existir:
  1. Descontinuidade: Se a função tem uma quebra ou salto em , ela não é contínua nesse ponto e, portanto, não é derivável.
  2. Ponto de Canto ou Reto: Se a função forma um “canto” ou “beco” em , a inclinação da reta tangente muda abruptamente, tornando a derivada inexistente.
  3. Comportamento Diferente pelas Direções: Se os limites laterais (quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda) não são iguais, o limite geral não existe.

Passo 4

Para identificar exatamente por que não é derivável em , precisaríamos analisar o comportamento da função nesse ponto. Isso incluiria verificar:
  • Continuity: Confirmar se é contínua em .
  • Limites Laterais: Calcular os limites laterais da derivada para ver se são iguais.
  • Forma da Função: Observar se existe algum tipo de “canto” ou mudança abrupta na inclinação.

Resposta

A função não é derivável em porque o limite que define a derivada nesse ponto não existe, possivelmente devido a uma descontinuidade, a presença de um “canto” na função ou comportamentos distintos das derivadas pelas direções esquerda e direita.

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Considere a função
é derivável em ?