não é derivável em
.
Passo 1
No enunciado, nos é informado que a função
não é derivável em
.
Conteúdo da matéria: Derivadas e critérios de derivabilidade.
O que vamos precisar para resolver: Entender o conceito de derivada, o que significa uma função ser derivável em um ponto e identificar possíveis razões que impedem a derivabilidade em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de
em
é definida por:
Para que
seja derivável em
, esse limite deve existir.
Passo 3
Se a função
não é derivável em
, isso significa que o limite acima não existe nesse ponto. Existem várias razões pelas quais o limite pode não existir:
- Descontinuidade: Se a função tem uma quebra ou salto em
, ela não é contínua nesse ponto e, portanto, não é derivável. - Ponto de Canto ou Reto: Se a função forma um “canto” ou “beco” em
, a inclinação da reta tangente muda abruptamente, tornando a derivada inexistente. - Comportamento Diferente pelas Direções: Se os limites laterais (quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda) não são iguais, o limite geral não existe.
Passo 4
Para identificar exatamente por que
não é derivável em
, precisaríamos analisar o comportamento da função nesse ponto. Isso incluiria verificar:
- Continuity: Confirmar se
é contínua em . - Limites Laterais: Calcular os limites laterais da derivada para ver se são iguais.
- Forma da Função: Observar se existe algum tipo de “canto” ou mudança abrupta na inclinação.
Resposta
A função
não é derivável em
porque o limite que define a derivada nesse ponto não existe, possivelmente devido a uma descontinuidade, a presença de um “canto” na função ou comportamentos distintos das derivadas pelas direções esquerda e direita.
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Considere a função
é derivável em
?