Se existe, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que se a derivada de uma função existe no ponto , ou seja, existe, então o limite de quando se aproxima de é igual a . Esse tema faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a derivada existir e como isso está relacionado com a continuidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que a derivada existe. A derivada de em é definida como:
Isso quer dizer que, para que a derivada exista, esse limite precisa existir e ser um número real.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite que queremos provar:
Esse limite é a definição de continuidade da função no ponto . Ou seja, se esse limite for igual a , então é contínua em .

Passo 4

Sabemos que se existe, o limite da derivada implica que a diferença se aproxima de um número real quando se aproxima de . Para que isso aconteça, a expressão deve se aproximar de zero quando se aproxima de .
Matematicamente, isso significa que:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por , temos:
Como existe e é finito, o numerador deve tender a zero tão rápido quanto o denominador tende a zero. Portanto, concluímos que:

Resposta

Portanto, se existe, então .

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Se , então .
Se tem domínio e não possui assíntota horizontal, então ou .
Seja uma função tal que . Então existe um número positivo tal que, se , então .