Se
existe, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que se a derivada de uma função
existe no ponto
, ou seja,
existe, então o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Esse tema faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a derivada existir e como isso está relacionado com a continuidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que a derivada
existe. A derivada de
em
é definida como:
Isso quer dizer que, para que a derivada exista, esse limite precisa existir e ser um número real.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite que queremos provar:
Esse limite é a definição de continuidade da função
no ponto
. Ou seja, se esse limite for igual a
, então
é contínua em
.
Passo 4
Sabemos que se
existe, o limite da derivada implica que a diferença
se aproxima de um número real quando
se aproxima de
. Para que isso aconteça, a expressão
deve se aproximar de zero quando
se aproxima de
.
Matematicamente, isso significa que:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Como
existe e é finito, o numerador
deve tender a zero tão rápido quanto o denominador
tende a zero. Portanto, concluímos que:
Resposta
Portanto, se
existe, então
.
Exercícios relacionados
Se
for contínua em 5 e
e
, então
.
Se
, então
.
Se
tem domínio
e não possui assíntota horizontal, então
ou
.
Seja
uma função tal que
. Então existe um número positivo
tal que, se
, então
.