Se f^prime(r) existe, então lim x r f(x)=f(r).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que se a derivada de uma função f existe no ponto r, ou seja, f^prime(r) existe, então o limite de f(x) quando x se aproxima de r é igual a f(r). Esse tema faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a derivada existir e como isso está relacionado com a continuidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que a derivada f^prime(r) existe. A derivada de f em r é definida como:
f^prime(r) = limx to r f(x) - f(r)x - r
Isso quer dizer que, para que a derivada exista, esse limite precisa existir e ser um número real.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite que queremos provar:
limx to r f(x) = f(r)
Esse limite é a definição de continuidade da função f no ponto r. Ou seja, se esse limite for igual a f(r), então f é contínua em r.

Passo 4

Sabemos que se f^prime(r) existe, o limite da derivada implica que a diferença f(x) - f(r)x - r se aproxima de um número real quando x se aproxima de r. Para que isso aconteça, a expressão f(x) - f(r) deve se aproximar de zero quando x se aproxima de r.
Matematicamente, isso significa que:
limx to r (f(x) - f(r)) = 0

Passo 5

Dividindo ambos os lados por (x - r), temos:
limx to r f(x) - f(r)x - r = f^prime(r)
Como f^prime(r) existe e é finito, o numerador f(x) - f(r) deve tender a zero tão rápido quanto o denominador x - r tende a zero. Portanto, concluímos que:
limx to r f(x) = f(r)

Resposta

Portanto, se f^prime(r) existe, então lim x r f(x) = f(r).

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