Se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que se
e
, então
. Vamos trabalhar com isso usando o tópico de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que crescem sem limites próximos de um ponto. Precisaremos entender como a subtração de duas funções que tendem ao infinito se comporta.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que quando duas funções tendem ao infinito, a maneira como elas crescem pode variar bastante. O fato de ambas irem para o infinito não garante automaticamente que a diferença entre elas vai para zero. Precisamos explorar isso com mais detalhes.
Passo 3
Vamos considerar um exemplo para ilustrar melhor. Imagine que temos as funções
e
quando
se aproxima de
. Calculando os limites de cada uma:
Agora, vamos ver a diferença entre elas:
Calculando o limite dessa diferença:
Isso mostra que, nesse caso, a diferença não tende a zero, mas a menos infinito.
Passo 4
Esse exemplo demonstra que mesmo que ambas as funções
e
tendam ao infinito quando
se aproxima de
, a diferença entre elas não necessariamente tende a zero. Dependendo de como cada função se comporta, a diferença pode tender a um número finito, a mais infinito ou a menos infinito.
Resposta
A afirmação de que
quando
e
não é verdadeira em geral. A diferença entre duas funções que tendem ao infinito pode não necessariamente tender a zero.
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Se
for contínua em 5 e
e
, então
.
Se
existe, então
.