Se , então .

Passo 1

O enunciado diz que se e , então . Vamos trabalhar com isso usando o tópico de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que crescem sem limites próximos de um ponto. Precisaremos entender como a subtração de duas funções que tendem ao infinito se comporta.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que quando duas funções tendem ao infinito, a maneira como elas crescem pode variar bastante. O fato de ambas irem para o infinito não garante automaticamente que a diferença entre elas vai para zero. Precisamos explorar isso com mais detalhes.

Passo 3

Vamos considerar um exemplo para ilustrar melhor. Imagine que temos as funções e quando se aproxima de . Calculando os limites de cada uma:
Agora, vamos ver a diferença entre elas:
Calculando o limite dessa diferença:
Isso mostra que, nesse caso, a diferença não tende a zero, mas a menos infinito.

Passo 4

Esse exemplo demonstra que mesmo que ambas as funções e tendam ao infinito quando se aproxima de , a diferença entre elas não necessariamente tende a zero. Dependendo de como cada função se comporta, a diferença pode tender a um número finito, a mais infinito ou a menos infinito.

Resposta

A afirmação de que quando e não é verdadeira em geral. A diferença entre duas funções que tendem ao infinito pode não necessariamente tender a zero.

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Se for contínua em 5 e e , então .
Se existe, então .