Se lim x 0 f(x)=infty e lim x 0 g(x)=infty, então lim x 0[f(x)-g(x)]=0.

Passo 1

O enunciado diz que se limx 0 f(x)=infty e limx 0 g(x)=infty, então limx 0 [f(x)-g(x)]=0. Vamos trabalhar com isso usando o tópico de limites no cálculo, especialmente lidando com funções que crescem sem limites próximos de um ponto. Precisaremos entender como a subtração de duas funções que tendem ao infinito se comporta.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que quando duas funções tendem ao infinito, a maneira como elas crescem pode variar bastante. O fato de ambas irem para o infinito não garante automaticamente que a diferença entre elas vai para zero. Precisamos explorar isso com mais detalhes.

Passo 3

Vamos considerar um exemplo para ilustrar melhor. Imagine que temos as funções f(x) = dfrac1x e g(x) = dfrac2x quando x se aproxima de 0. Calculando os limites de cada uma:
limx 0 f(x) = limx 0 dfrac1x = infty
limx 0 g(x) = limx 0 dfrac2x = infty
Agora, vamos ver a diferença entre elas:
f(x) - g(x) = dfrac1x - dfrac2x = -dfrac1x
Calculando o limite dessa diferença:
limx 0 [ f(x) - g(x) ] = limx 0 ( -dfrac1x ) = -infty
Isso mostra que, nesse caso, a diferença não tende a zero, mas a menos infinito.

Passo 4

Esse exemplo demonstra que mesmo que ambas as funções f(x) e g(x) tendam ao infinito quando x se aproxima de 0, a diferença entre elas não necessariamente tende a zero. Dependendo de como cada função se comporta, a diferença pode tender a um número finito, a mais infinito ou a menos infinito.

Resposta

A afirmação de que limx 0 [f(x)-g(x)]=0 quando limx 0 f(x)=infty e limx 0 g(x)=infty não é verdadeira em geral. A diferença entre duas funções que tendem ao infinito pode não necessariamente tender a zero.

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