1. f'(x) = 2 x e^(x^2)

Passo 1

Vamos resumir o que temos: o exercício nos dá a derivada de uma função, . O conteúdo envolve cálculo diferencial e integral, especificamente a operação de integração para encontrar a função original a partir da sua derivada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição na integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual é a função cuja derivada é . Isso significa que precisamos integrar em relação a :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão , percebemos que é uma parte que pode ser substituída.
Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
A integral de em relação a é simplesmente :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A função original é .

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