Mostre que cot(pi * cosh(ln(3))) - arcsen(tan(pi * senh(ln(2)))) = pi/2 - sqrt(3)/3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a expressão é igual a . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções hiperbólicas e trigonométricas. Vamos precisar entender como calcular , , , e . Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A função cosseno hiperbólico é definida por:
Então, substituindo por :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Em seguida, precisamos encontrar . A cotangente é definida como o cosseno dividido pelo seno:
Vamos calcular e :
Portanto:

Passo 4

Agora vamos calcular . A função seno hiperbólico é definida por:
Substituindo por :

Passo 5

Em seguida, calculamos :
Agora, precisamos encontrar . Sabemos que:

Passo 6

Agora, vamos calcular . A função arcseno retorna o ângulo cujo seno é o número dado, e seu domínio é com valores entre e :

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Determine x tal que tanh x = -1/4.
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
f(x) = x^pi + pi^x
  1. f'(x) = 2 x e^(x^2)
Calcule y' nos exercícios 17. a 19 .
ln((x/y)+(y/x))=5