Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas! A gente tem uma função bem interessante: . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender de derivadas de funções compostas e usar a diferenciação logarítmica, já que a função está numa forma onde a base e o expoente dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função do tipo
, onde tanto a base
quanto o expoente
são funções de
. A estratégia mais fácil aqui é usar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a derivação.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural na função
:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, e do lado direito, aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Vamos diferenciar o lado direito usando a regra do produto
:
Passo 7
Agora, calculamos cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de :
E a derivada de :
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão original:
Passo 9
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que , substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: