f^prime(x)=(sen x)^arcsen x(cot x arcsen x+ln (sen x)raiz1-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas! A gente tem uma função bem interessante: . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender de derivadas de funções compostas e usar a diferenciação logarítmica, já que a função está numa forma onde a base e o expoente dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma função do tipo , onde tanto a base quanto o expoente são funções de . A estratégia mais fácil aqui é usar a diferenciação logarítmica. Isso significa que vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a derivação.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural na função ln f(x) = ln ( (sen x)^arcsen x ) :

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln f(x) = arcsen x cdot ln (sen x) , podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a f^prime(x)f(x) = ddx [ arcsen x cdot ln (sen x) ] . Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, e do lado direito, aplicamos a regra do produto:

Passo 6

Vamos diferenciar o lado direito usando a regra do produto f^prime(x)f(x) = (arcsen x)' cdot ln (sen x) + arcsen x cdot ddx [ ln (sen x) ] :

Passo 7

Agora, calculamos cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de :
E a derivada de :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão original:

Passo 9

Para encontrar f^prime(x) = f(x) ( ln (sen x)raiz1 - x^2 + cot x cdot arcsen x ) , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados