f'(x) = (1 - ln x) / x^2. Ponto crítico em x = e, de máximo absoluto. f é crescente em 0 < x <= e e decrescente em x ≥ e. Não tem mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá nos dizendo. A gente tem a derivada de uma função , que é dada por:
O exercício também menciona que há um ponto crítico em , que é um máximo absoluto. Além disso, diz que a função está crescente no intervalo e decrescente para , e que não possui mínimo.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo diferencial, especialmente sobre como identificar pontos críticos e determinar onde a função é crescente ou decrescente usando a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é:
Vamos encontrar onde :
Para que uma fração seja zero, o numerador precisa ser zero (desde que o denominador não seja zero). Então, resolvemos:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada :
Como é sempre positivo para , o sinal de depende apenas do numerador .
Vamos ver o que acontece em diferentes intervalos de :
  1. Para :
    • Sabemos que porque .
    • Então, .
    • Portanto, , o que significa que está crescente nesse intervalo.
  2. Para :
    • , então .
    • Aqui, , confirmando que é um ponto crítico.
  3. Para :
    • porque .
    • Então, .
    • Portanto, , o que significa que está decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos concluir o seguinte sobre a função :
  • Crescente em : Como a derivada é positiva nesse intervalo, a função está aumentando.
  • Decrescente em : Como a derivada é negativa nesse intervalo, a função está diminuindo.
  • Ponto Crítico em : Nesse ponto, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo absoluto.
  • Não tem mínimo: Já que a função está sempre aumentando antes de e sempre diminuindo depois, não há nenhum ponto onde ela atinge um valor mínimo.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um máximo absoluto. Ela é crescente no intervalo e decrescente para . Além disso, não apresenta nenhum ponto de mínimo.

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