. Ponto crítico em
, de máximo absoluto.
é crescente em
e decrescente em
. Não tem mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá nos dizendo. A gente tem a derivada de uma função
, que é dada por:
O exercício também menciona que há um ponto crítico em
, que é um máximo absoluto. Além disso, diz que a função
está crescente no intervalo
e decrescente para
, e que não possui mínimo.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo diferencial, especialmente sobre como identificar pontos críticos e determinar onde a função é crescente ou decrescente usando a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde a derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada é:
Vamos encontrar onde
:
Para que uma fração seja zero, o numerador precisa ser zero (desde que o denominador não seja zero). Então, resolvemos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a função
é crescente ou decrescente. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada
:
Como
é sempre positivo para
, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Vamos ver o que acontece em diferentes intervalos de
:
-
Para
: - Sabemos que
porque . - Então,
. - Portanto,
, o que significa que está crescente nesse intervalo.
- Sabemos que
-
Para
: -
, então . - Aqui,
, confirmando que é um ponto crítico.
-
-
Para
: -
porque . - Então,
. - Portanto,
, o que significa que está decrescente nesse intervalo.
-
Passo 4
Com base nessa análise, podemos concluir o seguinte sobre a função
:
- Crescente em
: Como a derivada é positiva nesse intervalo, a função está aumentando. - Decrescente em
: Como a derivada é negativa nesse intervalo, a função está diminuindo. - Ponto Crítico em
: Nesse ponto, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo absoluto. - Não tem mínimo: Já que a função está sempre aumentando antes de
e sempre diminuindo depois, não há nenhum ponto onde ela atinge um valor mínimo.
Resposta
A função
possui um ponto crítico em
, que é um máximo absoluto. Ela é crescente no intervalo
e decrescente para
. Além disso, não apresenta nenhum ponto de mínimo.