Ponto crítico em
, de máximo absoluto. A função é crescente em
e decrescente em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá dizendo. Temos uma função que tem um ponto crítico em
. Esse ponto crítico é um máximo absoluto, o que significa que nele a função atinge o valor mais alto comparado a todos os outros pontos. Além disso, a função está crescendo quando
e descendo quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, máximos absolutos e o comportamento crescente e decrescente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Nesse caso, sabemos que
é um ponto crítico, então a derivada da função nesse ponto deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa ter um máximo absoluto em
. Isso quer dizer que, nesse ponto, a função atinge o valor mais alto em todo o seu domínio. Não há nenhum outro ponto onde a função seja maior que nesse ponto.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função antes e depois de
:
- Para
, a função está aumentando (crescente). Isso significa que, conforme aumentamos até chegar em , o valor da função também aumenta. - Para
, a função está diminuindo (decrescente). Ou seja, após , conforme aumentamos , o valor da função começa a diminuir.
Passo 5
Sabendo que a função é crescente até
e decrescente depois, isso confirma que
é realmente um ponto de máximo absoluto. Porque antes desse ponto, a função estava aumentando, atingiu o pico no
, e depois começou a diminuir, não existindo nenhum outro ponto com valor maior.
Resposta
Portanto, concluímos que
é um ponto crítico onde a função atinge seu máximo absoluto, estando crescente para valores de
menores ou iguais a
e decrescente para valores maiores ou iguais a
.
Exercícios relacionados
Ponto crítico em
, de mínimo absoluto.
é crescente em
e decrescente em
.
vemos que
é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois.
é ponto de máximo relativo e
de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
Calcule.
j)
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