Ponto crítico em , de máximo absoluto. A função é crescente em e decrescente em .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá dizendo. Temos uma função que tem um ponto crítico em . Esse ponto crítico é um máximo absoluto, o que significa que nele a função atinge o valor mais alto comparado a todos os outros pontos. Além disso, a função está crescendo quando e descendo quando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, máximos absolutos e o comportamento crescente e decrescente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Nesse caso, sabemos que é um ponto crítico, então a derivada da função nesse ponto deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ter um máximo absoluto em . Isso quer dizer que, nesse ponto, a função atinge o valor mais alto em todo o seu domínio. Não há nenhum outro ponto onde a função seja maior que nesse ponto.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função antes e depois de :
  • Para , a função está aumentando (crescente). Isso significa que, conforme aumentamos até chegar em , o valor da função também aumenta.
  • Para , a função está diminuindo (decrescente). Ou seja, após , conforme aumentamos , o valor da função começa a diminuir.

Passo 5

Sabendo que a função é crescente até e decrescente depois, isso confirma que é realmente um ponto de máximo absoluto. Porque antes desse ponto, a função estava aumentando, atingiu o pico no , e depois começou a diminuir, não existindo nenhum outro ponto com valor maior.

Resposta

Portanto, concluímos que é um ponto crítico onde a função atinge seu máximo absoluto, estando crescente para valores de menores ou iguais a e decrescente para valores maiores ou iguais a .

Exercícios relacionados

Ponto crítico em , de mínimo absoluto. é crescente em e decrescente em .
. Ponto crítico em , de máximo absoluto. é crescente em e decrescente em . Não tem mínimo.
. Pontos críticos em e . Como
vemos que é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois. é ponto de máximo relativo e de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
Calcule.
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