Ponto crítico em
, de mínimo absoluto.
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está dizendo. Temos uma função
que tem um ponto crítico em
, e esse ponto é um mínimo absoluto. Além disso, a função está crescente para todos os
maiores ou iguais a
e decrescente para
entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, mínimos absolutos, e como identificar intervalos de crescente e decrescente em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função.
Passo 3
No exercício, sabemos que
é um ponto crítico. Isso significa que a derivada de
em
é zero:
Esse ponto pode ser um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão. Mas o exercício já nos diz que é um mínimo absoluto, ou seja, é o menor valor que a função alcança no seu domínio.
Passo 4
Agora, vamos entender os intervalos de crescente e decrescente. A derivada de uma função nos diz o comportamento da função:
- Se
, a função está crescente nesse intervalo. - Se
, a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 5
O exercício informa que:
-
é crescente para . -
é decrescente para .
Isso faz sentido porque se
é um mínimo, a função desce até esse ponto (decrescendo) e depois começa a subir (crescente).
Passo 6
Vamos visualizar isso com um gráfico simples. Imagine uma curva que desce até o ponto
e depois sobe a partir desse ponto. Esse ponto é o mínimo absoluto porque é o ponto mais baixo da função.
Passo 7
Se quiséssemos encontrar a função específica
, precisaríamos de mais informações, como uma expressão da função ou mais pontos. Mas com as informações dadas, já conseguimos entender o comportamento geral da função.
Resposta
O ponto
é um mínimo absoluto da função
, onde a função muda de decrescente para crescente. Isso significa que
atinge seu menor valor em
, sendo crescente para todos os
maiores ou iguais a
e decrescente para
.
Exercícios relacionados
Ponto crítico em
, de máximo absoluto. A função é crescente em
e decrescente em
.
vemos que
é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois.
é ponto de máximo relativo e
de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois