Ponto crítico em x = 2/5, de mínimo absoluto. f é crescente em x ≥ 2/5 e decrescente em 0 < x <= 2 / 5.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está dizendo. Temos uma função que tem um ponto crítico em , e esse ponto é um mínimo absoluto. Além disso, a função está crescente para todos os maiores ou iguais a e decrescente para entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos, mínimos absolutos, e como identificar intervalos de crescente e decrescente em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função.

Passo 3

No exercício, sabemos que é um ponto crítico. Isso significa que a derivada de em é zero:
Esse ponto pode ser um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão. Mas o exercício já nos diz que é um mínimo absoluto, ou seja, é o menor valor que a função alcança no seu domínio.

Passo 4

Agora, vamos entender os intervalos de crescente e decrescente. A derivada de uma função nos diz o comportamento da função:
  • Se , a função está crescente nesse intervalo.
  • Se , a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 5

O exercício informa que:
  • é crescente para .
  • é decrescente para .
Isso faz sentido porque se é um mínimo, a função desce até esse ponto (decrescendo) e depois começa a subir (crescente).

Passo 6

Vamos visualizar isso com um gráfico simples. Imagine uma curva que desce até o ponto e depois sobe a partir desse ponto. Esse ponto é o mínimo absoluto porque é o ponto mais baixo da função.

Passo 7

Se quiséssemos encontrar a função específica , precisaríamos de mais informações, como uma expressão da função ou mais pontos. Mas com as informações dadas, já conseguimos entender o comportamento geral da função.

Resposta

O ponto é um mínimo absoluto da função , onde a função muda de decrescente para crescente. Isso significa que atinge seu menor valor em , sendo crescente para todos os maiores ou iguais a e decrescente para .

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