Se f: R -> R é da forma f(x) = a*x + b e f(f(x)) = x + 3, para todo x em R, calcule os valores de a e b.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função linear e sabemos que aplicar a função duas vezes, ou seja, , resulta em para todo número real . Nosso objetivo é descobrir os valores de e que satisfazem essa condição. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções compostas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que , então substituindo na própria função, temos:
Aqui, usamos a propriedade de substituição das funções compostas.

Passo 3

Agora, sabemos que . Então, igualamos as duas expressões que conseguimos:
Isso significa que os coeficientes das partes e as constantes devem ser iguais para que as duas funções sejam iguais para todo .

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes de e as constantes separadamente:
  1. Para os coeficientes de :
  1. Para as constantes:
Isso nos dá um sistema de duas equações para resolver e .

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
Vamos considerar cada caso para encontrar .

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Esse caso não tem solução, pois leva a uma contradição.

Resposta

Os valores que satisfazem a condição dada são:

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