Se é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que não é enumerável.

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos um conjunto que é fechado, não-vazio e não tem pontos isolados, e precisamos provar que não é enumerável. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como conjuntos fechados, pontos isolados e a ideia de conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado na reta dos números reais . Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação. Isso significa que se uma sequência de pontos em converge para algum ponto, esse ponto também pertence a .

Passo 3

Agora, um ponto isolado em é aquele que não tem outros pontos de próximos a ele. Formalmente, é isolado se existe um intervalo ao redor de que não contém nenhum outro ponto de . No nosso caso, não possui pontos isolados, ou seja, cada ponto de é um ponto de acumulação.

Passo 4

Vamos abordar a noção de conjuntos enumeráveis. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista infinita, como os números naturais . Por outro lado, conjuntos não enumeráveis, como os números reais , não podem ser listados dessa maneira.

Passo 5

Sabemos que todo conjunto fechado sem pontos isolados na reta é um conjunto perfeito. Um conjunto perfeito é não vazio, fechado e não tem pontos isolados. Além disso, pelo Teorema de Cantor, todo conjunto perfeito em é não enumerável.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Cantor ao nosso conjunto , que é fechado, não-vazio e sem pontos isolados (portanto, perfeito), concluímos que não pode ser enumerado. Ou seja, é um conjunto não enumerável.

Resposta

Portanto, o conjunto não é enumerável.

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e compacto, então é compacto.
Mostre que .
Mostre que .
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.