Se
é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que
não é enumerável.
Passo 1
Vamos analisar o problema: Temos um conjunto
que é fechado, não-vazio e não tem pontos isolados, e precisamos provar que
não é enumerável. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como conjuntos fechados, pontos isolados e a ideia de conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado na reta dos números reais
. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação. Isso significa que se uma sequência de pontos em
converge para algum ponto, esse ponto também pertence a
.
Passo 3
Agora, um ponto isolado em
é aquele que não tem outros pontos de
próximos a ele. Formalmente,
é isolado se existe um intervalo ao redor de
que não contém nenhum outro ponto de
. No nosso caso,
não possui pontos isolados, ou seja, cada ponto de
é um ponto de acumulação.
Passo 4
Vamos abordar a noção de conjuntos enumeráveis. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista infinita, como os números naturais
. Por outro lado, conjuntos não enumeráveis, como os números reais
, não podem ser listados dessa maneira.
Passo 5
Sabemos que todo conjunto fechado sem pontos isolados na reta
é um conjunto perfeito. Um conjunto perfeito é não vazio, fechado e não tem pontos isolados. Além disso, pelo Teorema de Cantor, todo conjunto perfeito em
é não enumerável.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Cantor ao nosso conjunto
, que é fechado, não-vazio e sem pontos isolados (portanto, perfeito), concluímos que
não pode ser enumerado. Ou seja,
é um conjunto não enumerável.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é enumerável.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e
compacto, então
é compacto.
b)
Mostre que
.
Mostre que
.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.