Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Topologia que pede para mostrar que a união dos interiores de dois conjuntos e está contida no interior da união desses dois conjuntos. Em termos mais simples, vamos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto e como as operações de união funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto , denotado por , é o conjunto de todos os pontos de que estão “no meio”, ou seja, cada ponto de tem uma vizinhança completamente dentro de .
Agora, queremos mostrar que qualquer ponto que esteja no interior de ou no interior de também está no interior da união de e .

Passo 3

Vamos pegar um ponto que está na união dos interiores, ou seja:
Isso significa que está ou em ou em .

Passo 4

Se , então por definição do interior, existe uma vizinhança de que está completamente dentro de . Vamos chamar essa vizinhança de .
Como , essa mesma vizinhança também está dentro de .

Passo 5

Da mesma forma, se , existe uma vizinhança de que está completamente dentro de :
Então, independentemente de estar em ou em , sempre existe uma vizinhança de que está dentro de .

Passo 6

Isso significa que satisfaz a condição para estar no interior de :
Como escolhemos um arbitrário na união dos interiores e mostramos que ele está em , concluímos que:

Resposta

Portanto, demonstramos que a união dos interiores de e está contida no interior da união de e :

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de um exemplo de função que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Seja . Calcular aproximadamente com precisão 0.001 .
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e compacto, então é compacto.
Se é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que não é enumerável.