Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Topologia que pede para mostrar que a união dos interiores de dois conjuntos
e
está contida no interior da união desses dois conjuntos. Em termos mais simples, vamos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o interior de um conjunto e como as operações de união funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
, denotado por
, é o conjunto de todos os pontos de
que estão “no meio”, ou seja, cada ponto de
tem uma vizinhança completamente dentro de
.
Agora, queremos mostrar que qualquer ponto que esteja no interior de
ou no interior de
também está no interior da união de
e
.
Passo 3
Vamos pegar um ponto
que está na união dos interiores, ou seja:
Isso significa que
está ou em
ou em
.
Passo 4
Se
, então por definição do interior, existe uma vizinhança de
que está completamente dentro de
. Vamos chamar essa vizinhança de
.
Como
, essa mesma vizinhança
também está dentro de
.
Passo 5
Da mesma forma, se
, existe uma vizinhança
de
que está completamente dentro de
:
Então, independentemente de
estar em
ou em
, sempre existe uma vizinhança de
que está dentro de
.
Passo 6
Isso significa que
satisfaz a condição para estar no interior de
:
Como escolhemos um
arbitrário na união dos interiores e mostramos que ele está em
, concluímos que:
Resposta
Portanto, demonstramos que a união dos interiores de
e
está contida no interior da união de
e
:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condiçôes dadas.
Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001 .
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) qualquer e
compacto, então
é compacto.
b)
Se
é fechado, não-vazio e não possui pontos isolados, mostre que
não é enumerável.