Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b) S e A ⊂ R qualquer e K compacto, então A ∩ K é compacto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três conjuntos:
  • Dois conjuntos quaisquer e que são subconjuntos dos números reais .
  • Um conjunto que é compacto.
A afirmação que queremos verificar é: A interseção de com ( ) também é compacta?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto compacto e como as interseções de conjuntos compactos se comportam.

Passo 2

O que é um conjunto compacto?
Em , um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado.
  • Fechado significa que ele contém todos os seus pontos de limite.
  • Limitado significa que ele está contido dentro de algum intervalo finito.
Então, por exemplo, o intervalo fechado é compacto porque é fechado e limitado. Já o intervalo aberto não é compacto porque não é fechado.

Passo 3

O que acontece quando a gente faz a interseção de dois conjuntos?
A interseção consiste em todos os elementos que estão tanto em quanto em .
Queremos saber se essa interseção preserva a propriedade de ser compacto, ou seja, se também é fechado e limitado.

Passo 4

Vamos analisar se é fechado e limitado:
  • Limitado: Como é limitado e está dentro de , também é limitado.
  • Fechado: Aqui é que pode dar problema. A interseção nem sempre é fechada, porque depende de como está posicionado em relação a .

Passo 5

Vamos ver um exemplo para entender melhor:
  • Seja , que é compacto porque é fechado e limitado.
  • Seja , que não é fechado.
A interseção não é fechada em , então não é compacta.

Passo 6

Conclusão:
O exemplo mostra que mesmo que seja compacto, pode deixar de ser compacto se não for fechado. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, se (compacto) e , então não é compacto.

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