Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
b)
qualquer e
compacto, então
é compacto.
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três conjuntos:
- Dois conjuntos quaisquer
e que são subconjuntos dos números reais . - Um conjunto
que é compacto.
A afirmação que queremos verificar é: A interseção de
com
(
) também é compacta?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto compacto e como as interseções de conjuntos compactos se comportam.
Passo 2
O que é um conjunto compacto?
Em
, um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado.
- Fechado significa que ele contém todos os seus pontos de limite.
- Limitado significa que ele está contido dentro de algum intervalo finito.
Então, por exemplo, o intervalo fechado
é compacto porque é fechado e limitado. Já o intervalo aberto
não é compacto porque não é fechado.
Passo 3
O que acontece quando a gente faz a interseção de dois conjuntos?
A interseção
consiste em todos os elementos que estão tanto em
quanto em
.
Queremos saber se essa interseção preserva a propriedade de ser compacto, ou seja, se
também é fechado e limitado.
Passo 4
Vamos analisar se
é fechado e limitado:
- Limitado: Como
é limitado e está dentro de , também é limitado. - Fechado: Aqui é que pode dar problema. A interseção
nem sempre é fechada, porque depende de como está posicionado em relação a .
Passo 5
Vamos ver um exemplo para entender melhor:
- Seja
, que é compacto porque é fechado e limitado. - Seja
, que não é fechado.
A interseção
não é fechada em
, então não é compacta.
Passo 6
Conclusão:
O exemplo mostra que mesmo que
seja compacto,
pode deixar de ser compacto se
não for fechado. Portanto, a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, se
(compacto) e
, então
não é compacto.