.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: temos a função . O nosso objetivo aqui é entender o comportamento dessa função quando
se aproxima de zero. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a analisar como as funções se comportam próximo a certos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular o limite de uma função. O limite de
quando
se aproxima de um valor específico nos diz para qual número
está tendendo. No nosso caso, queremos encontrar:
Passo 3
Observamos que, conforme
se aproxima de zero, o termo
tende a infinito. Assim, estamos lidando com o comportamento de quando
tende ao infinito. Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
, independentemente de quão grande ou pequeno
seja.
Passo 4
Então, temos que:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por
(que está se aproximando de zero), preservamos a desigualdade:
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites dos extremos da desigualdade quando
se aproxima de zero:
Passo 6
Como está “presa” entre
e
, e ambos os extremos tendem a zero, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Telhas) para concluir que:
Resposta
O limite de quando
se aproxima de zero é igual a 0.