y = x * sen(1/x).

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: temos a função . O nosso objetivo aqui é entender o comportamento dessa função quando se aproxima de zero. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a analisar como as funções se comportam próximo a certos pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular o limite de uma função. O limite de quando se aproxima de um valor específico nos diz para qual número está tendendo. No nosso caso, queremos encontrar:

Passo 3

Observamos que, conforme se aproxima de zero, o termo tende a infinito. Assim, estamos lidando com o comportamento de quando tende ao infinito. Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de , independentemente de quão grande ou pequeno seja.

Passo 4

Então, temos que:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por (que está se aproximando de zero), preservamos a desigualdade:

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites dos extremos da desigualdade quando se aproxima de zero:

Passo 6

Como está “presa” entre e , e ambos os extremos tendem a zero, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Telhas) para concluir que:

Resposta

O limite de quando se aproxima de zero é igual a 0.

Exercícios relacionados

y = tan(sen(1 - 3 x^2))
f(x) = 1 / raiz(x^2 + 1).
f(t) = ((t^2 - 1) / (t^2 + 1))^(3/2).
y = sen(cos x).