Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a função:
Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e funções hiperbólicas, especificamente a função seno hiperbólico (
). Nosso objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as partes da função. A função
é uma fração onde:
- O numerador é
, o logaritmo natural da função seno hiperbólico de . - O denominador é
.
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são a divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz:
Onde
é o numerador e
é o denominador.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
:
-
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então,Sabemos que a derivada deé , então: -
Para
, que é , a derivada é simples:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Então, a expressão toda fica:
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo do numerador por
:
Resposta
A derivada da função
é: