f(x) = ln(sen(h x)) / x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a função:
Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e funções hiperbólicas, especificamente a função seno hiperbólico ( ). Nosso objetivo é calcular a derivada dessa função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as partes da função. A função é uma fração onde:
  • O numerador é , o logaritmo natural da função seno hiperbólico de .
  • O denominador é .
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são a divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz:
Onde é o numerador e é o denominador.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
  • Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
    Então,
    Sabemos que a derivada de é , então:
  • Para , que é , a derivada é simples:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos por :
Então, a expressão toda fica:
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo do numerador por :

Resposta

A derivada da função é:

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