.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida por partes e diz que
. A matéria envolvida aqui é funções por partes e continuidade. Para resolver, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Ou seja, para valores de
menores que 0,
, e para
maiores ou iguais a 0,
.
Passo 3
Para verificar a continuidade em
, precisamos checar três coisas:
-
está definido? - Existe o limite de
quando se aproxima de 0 pela esquerda? - Existe o limite de
quando se aproxima de 0 pela direita? - Os limites laterais são iguais ao valor da função em
?
Passo 4
Vamos calcular cada um desses itens:
- Valor da função em
:
Para
,
. Então,
- Limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Para
,
. Então,
- Limite quando
se aproxima de 0 pela direita ( ):
Para
,
. Então,
Passo 5
Agora, comparamos os limites laterais com o valor da função em
:
- Limite pela esquerda: 1
- Limite pela direita: 0
- Valor da função em 0: 0
Para a função ser contínua em
, os dois limites devem ser iguais entre si e também iguais ao valor da função no ponto. Aqui, vemos que o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita e também diferente do valor de
.
Resposta
Portanto, a função
não é contínua em
.
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a função
é contínua?
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.