f(x) = { e^x se x < 0, x^2 se x ≥ 0 }, a = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função definida por partes e diz que . A matéria envolvida aqui é funções por partes e continuidade. Para resolver, vamos verificar se a função é contínua no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Ou seja, para valores de menores que 0, , e para maiores ou iguais a 0, .

Passo 3

Para verificar a continuidade em , precisamos checar três coisas:
  1. está definido?
  2. Existe o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda?
  3. Existe o limite de quando se aproxima de 0 pela direita?
  4. Os limites laterais são iguais ao valor da função em ?

Passo 4

Vamos calcular cada um desses itens:
  1. Valor da função em :
Para , . Então,
  1. Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Para , . Então,
  1. Limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Para , . Então,

Passo 5

Agora, comparamos os limites laterais com o valor da função em :
  • Limite pela esquerda: 1
  • Limite pela direita: 0
  • Valor da função em 0: 0
Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais entre si e também iguais ao valor da função no ponto. Aqui, vemos que o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita e também diferente do valor de .

Resposta

Portanto, a função não é contínua em .

Exercícios relacionados

Para que valores de x a função g é contínua?
g(x) = 0 se x é racional, x se x é irracionaléé
Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
f(x) = { sen(x) se x < pi/4, cos(x) se x ≥ pi/4 }.
cos(x) = x^3.