Para que valores de
a função
é contínua?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas formas:
- Se
é um número racional, então . - Se
é um número irracional, então .
A pergunta é: para quais valores de
essa função
é contínua? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como verificar se uma função é contínua em certos pontos.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função
é contínua em um ponto
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, para nossa função
, precisamos verificar esses três itens para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece quando
, onde
pode ser racional ou irracional.
Caso 1:
é racional.
-
(porque é racional). - Agora, vamos calcular o limite de
quando se aproxima de .
Lembre-se que entre os números racionais e irracionais sempre tem outros números. Então, perto de qualquer
, podemos ter
racional e irracional.
- Se
é racional, . - Se
é irracional, , que está próximo de .
Então, o limite quando
se aproxima de
depende se
é zero ou não.
Caso 2:
é irracional.
-
. - Calculando o limite de
quando se aproxima de .
Da mesma forma, perto de
, temos
racional e irracional.
- Se
é racional, . - Se
é irracional, , que se aproxima de .
Então, o limite também depende do valor de
.
Passo 4
Vamos resumir:
-
Para
: -
(já que 0 é racional). - O limite de
quando se aproxima de 0 é 0, porque tanto para racional quanto irracional, se aproxima de 0. - Então,
. A função é contínua em 0.
-
-
Para
: - Se
é racional: -
. - O limite será
se , o que não é igual a . - Então, não é contínua.
-
- Se
é irracional: -
. - O limite será 0 (por aproximação racional) ou
(por aproximação irracional). Isso só é possível se . - Para
, os limites laterais não coincidem, então não é contínua.
-
- Se
Resposta
A função
é contínua somente para
.
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Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
Para que valores de
a função
é contínua?