Para que valores de x a função g é contínua?
g(x) = 0 se x é racional, x se x é irracionaléé

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas formas:
  • Se é um número racional, então .
  • Se é um número irracional, então .
A pergunta é: para quais valores de essa função é contínua? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como verificar se uma função é contínua em certos pontos.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para nossa função , precisamos verificar esses três itens para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece quando , onde pode ser racional ou irracional.
Caso 1: é racional.
  • (porque é racional).
  • Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de .
Lembre-se que entre os números racionais e irracionais sempre tem outros números. Então, perto de qualquer , podemos ter racional e irracional.
  • Se é racional, .
  • Se é irracional, , que está próximo de .
Então, o limite quando se aproxima de depende se é zero ou não.
Caso 2: é irracional.
  • .
  • Calculando o limite de quando se aproxima de .
Da mesma forma, perto de , temos racional e irracional.
  • Se é racional, .
  • Se é irracional, , que se aproxima de .
Então, o limite também depende do valor de .

Passo 4

Vamos resumir:
  • Para :
    • (já que 0 é racional).
    • O limite de quando se aproxima de 0 é 0, porque tanto para racional quanto irracional, se aproxima de 0.
    • Então, . A função é contínua em 0.
  • Para :
    • Se é racional:
      • .
      • O limite será se , o que não é igual a .
      • Então, não é contínua.
    • Se é irracional:
      • .
      • O limite será 0 (por aproximação racional) ou (por aproximação irracional). Isso só é possível se .
      • Para , os limites laterais não coincidem, então não é contínua.

Resposta

A função é contínua somente para .

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f(x) = 0 se x é racional, 1 se x é irracionaléé
f(x) = { e^x se x < 0, x^2 se x ≥ 0 }, a = 0.
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