Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que uma função é contínua em um intervalo específico usando a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de continuidade em um ponto e as propriedades básicas dos limites.

Passo 2

A definição de continuidade em um ponto diz que a função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao intervalo dado. Suponha que o intervalo seja . Precisamos verificar a continuidade em todos os pontos desse intervalo. Geralmente, isso é feito verificando os pontos internos e os pontos finais separadamente.

Passo 4

Para os pontos internos , verificamos as três condições da definição de continuidade:
  1. está definida: Garantimos que a função tem um valor definido em .
  2. Existência do limite: Calculamos e confirmamos que esse limite existe.
  3. Igualdade do limite com : Verificamos se .

Passo 5

Nos pontos finais e , a continuidade é verificada utilizando limites laterais:
  • Em , usamos o limite à direita: .
  • Em , usamos o limite à esquerda: .

Passo 6

Além disso, usamos as propriedades dos limites para simplificar os cálculos, como a linearidade dos limites, o limite de uma soma ser a soma dos limites, e assim por diante. Isso ajuda a mostrar que os limites existem e são iguais aos valores da função nos pontos considerados.

Resposta

Seguindo esses passos, demonstramos que a função é contínua no intervalo .

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