Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que uma função
é contínua em um intervalo específico usando a definição de continuidade e as propriedades dos limites. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de continuidade em um ponto e as propriedades básicas dos limites.
Passo 2
A definição de continuidade em um ponto
diz que a função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao intervalo dado. Suponha que o intervalo seja
. Precisamos verificar a continuidade em todos os pontos desse intervalo. Geralmente, isso é feito verificando os pontos internos e os pontos finais separadamente.
Passo 4
Para os pontos internos
, verificamos as três condições da definição de continuidade:
-
está definida: Garantimos que a função tem um valor definido em . - Existência do limite: Calculamos
e confirmamos que esse limite existe. - Igualdade do limite com
: Verificamos se .
Passo 5
Nos pontos finais
e
, a continuidade é verificada utilizando limites laterais:
- Em
, usamos o limite à direita: . - Em
, usamos o limite à esquerda: .
Passo 6
Além disso, usamos as propriedades dos limites para simplificar os cálculos, como a linearidade dos limites, o limite de uma soma ser a soma dos limites, e assim por diante. Isso ajuda a mostrar que os limites existem e são iguais aos valores da função nos pontos considerados.
Resposta
Seguindo esses passos, demonstramos que a função
é contínua no intervalo
.
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