f^-1(x) = e^x - 3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me deu é . Isso significa que estamos lidando com funções inversas. O conteúdo principal aqui é funções inversas, que são aquelas que “desfazem” a ação da função original. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a função original sabendo a sua inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se é uma função, sua inversa satisfaz a relação:
Isso quer dizer que ao aplicar uma função e depois sua inversa, você volta ao valor inicial.

Passo 3

Sabemos que . Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos inverter essa relação. Ou seja, se , queremos expressar em termos de para encontrar .

Passo 4

Vamos começar substituindo:
Queremos isolar . Primeiro, adicionamos 3 em ambos os lados:

Passo 5

Agora, para resolver para , usamos o logaritmo natural, já que ele é o inverso da exponenciação:
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, lembrando que , podemos escrever a função original trocando por :

Resposta

A função original é .

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