.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente recebeu a função
. O conteúdo principal que vamos usar aqui é o de Cálculo, especificamente Derivadas e Análise de Funções Polinomiais. Vamos precisar calcular a derivada dessa função para encontrar seus pontos críticos, analisar onde ela tem máximos ou mínimos e entender o comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto
.
A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada existe em todos os pontos, então só precisamos resolver
:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 3:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatorar.
Fatorando:
Então, temos:
Portanto,
é nosso ponto crítico.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos analisar a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
Agora, substituímos
na segunda derivada:
A segunda derivada igual a zero nos diz que o teste é inconclusivo. Precisamos então usar outro método, como analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de
.
Passo 6
Vamos observar como
se comporta perto de
:
-
Para
: escolha , -
Para
: escolha ,
Como a derivada é positiva antes e depois de
, isso indica que a função está sempre aumentando e, portanto,
é um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo.
Passo 7
Vamos agora encontrar o valor da função nesse ponto de inflexão para completar nossa análise:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função
tem um ponto de inflexão em
, onde
. A derivada
não indica máximos ou mínimos, já que a função está sempre aumentando.