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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente recebeu a função . O conteúdo principal que vamos usar aqui é o de Cálculo, especificamente Derivadas e Análise de Funções Polinomiais. Vamos precisar calcular a derivada dessa função para encontrar seus pontos críticos, analisar onde ela tem máximos ou mínimos e entender o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto .
A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Como nossa função é um polinômio, a derivada existe em todos os pontos, então só precisamos resolver :
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 3:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatorar.
Fatorando:
Então, temos:
Portanto, é nosso ponto crítico.

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos analisar a segunda derivada da função.
Calculando a segunda derivada:
Agora, substituímos na segunda derivada:
A segunda derivada igual a zero nos diz que o teste é inconclusivo. Precisamos então usar outro método, como analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de .

Passo 6

Vamos observar como se comporta perto de :
  • Para : escolha ,
  • Para : escolha ,
Como a derivada é positiva antes e depois de , isso indica que a função está sempre aumentando e, portanto, é um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo.

Passo 7

Vamos agora encontrar o valor da função nesse ponto de inflexão para completar nossa análise:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função tem um ponto de inflexão em , onde . A derivada não indica máximos ou mínimos, já que a função está sempre aumentando.

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