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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é sobre a função no intervalo onde . O conteúdo que vamos usar aqui é a série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir a função em série de Taylor e depois multiplicar pelo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função centrada em 0. A série é infinitamente longa e é dada por:
Isso significa que podemos substituir por essa soma infinita.

Passo 3

Agora, como nossa função é , vamos multiplicar cada termo da série de por :
Distribuindo o para dentro da soma, temos:

Passo 4

Então, a série de Taylor de centrada em 0 é:
Cada termo adicional na série adiciona mais precisão à aproximação da função no intervalo .

Resposta

A série de Taylor da função para é:

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