.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado do exercício é sobre a função
no intervalo onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é a série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Para resolver isso, vamos precisar saber como expandir a função
em série de Taylor e depois multiplicar pelo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor da função
centrada em 0. A série é infinitamente longa e é dada por:
Isso significa que podemos substituir
por essa soma infinita.
Passo 3
Agora, como nossa função é
, vamos multiplicar cada termo da série de
por
:
Distribuindo o
para dentro da soma, temos:
Passo 4
Então, a série de Taylor de
centrada em 0 é:
Cada termo adicional na série adiciona mais precisão à aproximação da função no intervalo
.
Resposta
A série de Taylor da função
para
é: