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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função definida no intervalo de . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de máximos e mínimos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos e depois analisar se são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero:
Portanto, é o nosso ponto crítico.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de :
Como , isso significa que a função é côncava para cima no ponto . Portanto, é um ponto de mínimo.

Passo 5

Além disso, como estamos trabalhando em um intervalo fechado , precisamos verificar os valores da função nas extremidades para garantir que encontramos o máximo e o mínimo absolutos.
Vamos calcular e :
E já sabemos que em :

Resposta

No intervalo , a função atinge um mínimo de 0 em e tem valores máximos de 1 nas extremidades e .

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