.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função
definida no intervalo de
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de máximos e mínimos de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos e depois analisar se são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada
sempre existe, então vamos igualar a derivada a zero:
Portanto,
é o nosso ponto crítico.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima no ponto
. Portanto,
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Além disso, como estamos trabalhando em um intervalo fechado
, precisamos verificar os valores da função nas extremidades para garantir que encontramos o máximo e o mínimo absolutos.
Vamos calcular
e
:
E já sabemos que em
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge um mínimo de 0 em
e tem valores máximos de 1 nas extremidades
e
.