.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me passou é a função . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra do produto para derivadas. Para resolver isso, precisamos saber como derivar funções exponenciais e polinomiais e como aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . No nosso caso, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

A função que temos é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e separadamente.
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos . A derivada da função exponencial é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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Calcule e verifique se existe o limite .
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de no ponto .
(b)
.
.