Construa tabelas de valores para ambas as funções nas vizinhanças de
e
, respectivamente. A partir dos resultados obtidos, discuta:
(a) O comportamento de cada função quando
se aproxima dos valores dados.
(b) A existência ou não dos limites de
e
nesses pontos.
© A relação entre os valores das tabelas e o conceito de limite lateral.
(d) A possibilidade de aplicar os teoremas de limites para calcular os limites.
(e) Discuta os seus resultados com seus colegas!!!
(a) O comportamento de cada função quando
(b) A existência ou não dos limites de
© A relação entre os valores das tabelas e o conceito de limite lateral.
(d) A possibilidade de aplicar os teoremas de limites para calcular os limites.
(e) Discuta os seus resultados com seus colegas!!!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções:
e
. Vamos trabalhar com limites aqui, especificamente construindo tabelas de valores próximas de
para
e de
para
. Para isso, vamos precisar entender o que acontece com as funções quando
se aproxima desses pontos e usar o conceito de limites para analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos criar uma tabela de valores para
perto de
. Vamos escolher valores de
um pouco menores e um pouco maiores que 1, por exemplo: 0.8, 0.9, 0.95, 1.05, 1.1 e 1.2.
|
|
---|---|
0.8 |
|
0.9 |
|
0.95 |
|
1.05 |
|
1.1 |
|
1.2 |
|
Passo 3
Agora, vamos fazer a tabela de valores para
perto de
. Vamos escolher
próximos a 2, mas diferentes de 2, como: 1.8, 1.9, 1.95, 2.05, 2.1 e 2.2.
|
|
---|---|
1.8 |
|
1.9 |
|
1.95 |
|
2.05 |
|
2.1 |
|
2.2 |
|
Passo 4
Vamos analisar como as funções se comportam conforme
se aproxima dos valores dados.
Para
perto de
:
Observamos que, conforme se aproxima de 1,
parece estar se aproximando de um valor específico. Olhando para a tabela, os valores de
vão de -1.76 até -0.16, indicando que
está aumentando conforme
se aproxima de 1.
Observamos que, conforme
Para
perto de
:
Aqui, à medida que se aproxima de 2 por valores menores que 2 (da esquerda),
tende a valores negativos muito grandes (como -5, -10, -20). Quando
se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (da direita),
tende a valores positivos muito grandes (como 20, 10, 5). Isso sugere que
está crescendo sem limite à medida que
se aproxima de 2 de cada lado.
Aqui, à medida que
Passo 5
Agora, vamos verificar se os limites existem nesses pontos.
Para
em
:
Como está se aproximando de um valor específico à medida que
se aproxima de 1, o limite existe. Podemos calcular diretamente substituindo
na função:
Como
Então,
.
Para
em
:
Observando a tabela, vemos que, à medida que se aproxima de 2 pela esquerda,
tende a
. Pela direita, tende a
. Como os limites laterais não são iguais (um vai para menos infinito e o outro para mais infinito), o limite geral não existe em
.
Observando a tabela, vemos que, à medida que
Passo 6
Vamos relacionar os valores das tabelas com os limites laterais.
Para
:
Os valores de se aproximam de -1 tanto pela esquerda quanto pela direita de
. Isso significa que os limites laterais são iguais e, portanto, o limite geral existe.
Os valores de
Para
:
Os valores de mostram que, ao se aproximar de 2 pela esquerda, os valores ficam cada vez mais negativos, e ao se aproximar pela direita, ficam cada vez mais positivos. Isso indica que os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), o que confirma que o limite geral não existe.
Os valores de
Passo 7
Vamos discutir se podemos aplicar os teoremas de limites para calcular esses limites.
Para
:
Sim, podemos aplicar os teoremas de limites. é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto, podemos simplesmente substituir
para encontrar o limite.
Sim, podemos aplicar os teoremas de limites.
Para
:
Neste caso, não é definida em
. Além disso, como os limites laterais são diferentes e tendem a infinito, os teoremas de limites que lidam com continuidade não se aplicam aqui para determinar um limite finito.
Neste caso,
Passo 8
Agora que analisamos tudo, é legal discutir esses resultados com seus colegas! Compartilhar diferentes perspectivas pode ajudar a consolidar o entendimento sobre limites e comportamento de funções. Pergunte a eles o que observaram nas tabelas, como interpretaram os limites e se concordam com as conclusões sobre a existência dos limites e a aplicabilidade dos teoremas.
Resposta
Finalizando, encontramos que:
(a)
se aproxima de -1 quando
se aproxima de 1, enquanto
cresce sem limite positivo ou negativo quando
se aproxima de 2.
(b) O limite de
em
existe e é igual a -1. Já
não possui limite em
, pois os limites laterais são diferentes e tendem a infinito.
© As tabelas mostraram que os valores de
se aproximam de um único valor, alinhando-se com o conceito de limite geral. Para
, os valores se afastam negativamente pela esquerda e positivamente pela direita, ilustrando os limites laterais distintos.
(d) Podemos aplicar os teoremas de limites para
devido à sua continuidade, mas não para
em
devido à descontinuidade e aos limites laterais divergentes.
(e) É importante discutir esses resultados com colegas para fortalecer a compreensão e esclarecer dúvidas sobre limites e comportamento de funções.
Exercícios relacionados
Sendo
e
, determine:
f)
f)
Sendo
e
, determine:
b)
b)
Sendo
e
, determine:
h)
h)
Determine os produtos:
h)
h)