Construa tabelas de valores para ambas as funções nas vizinhanças de e , respectivamente. A partir dos resultados obtidos, discuta:
(a) O comportamento de cada função quando se aproxima dos valores dados.
(b) A existência ou não dos limites de e nesses pontos.
© A relação entre os valores das tabelas e o conceito de limite lateral.
(d) A possibilidade de aplicar os teoremas de limites para calcular os limites.
(e) Discuta os seus resultados com seus colegas!!!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções: e . Vamos trabalhar com limites aqui, especificamente construindo tabelas de valores próximas de para e de para . Para isso, vamos precisar entender o que acontece com as funções quando se aproxima desses pontos e usar o conceito de limites para analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos criar uma tabela de valores para perto de . Vamos escolher valores de um pouco menores e um pouco maiores que 1, por exemplo: 0.8, 0.9, 0.95, 1.05, 1.1 e 1.2.
0.8
0.9
0.95
1.05
1.1
1.2

Passo 3

Agora, vamos fazer a tabela de valores para perto de . Vamos escolher próximos a 2, mas diferentes de 2, como: 1.8, 1.9, 1.95, 2.05, 2.1 e 2.2.
1.8
1.9
1.95
2.05
2.1
2.2

Passo 4

Vamos analisar como as funções se comportam conforme se aproxima dos valores dados.
Para perto de :
Observamos que, conforme se aproxima de 1, parece estar se aproximando de um valor específico. Olhando para a tabela, os valores de vão de -1.76 até -0.16, indicando que está aumentando conforme se aproxima de 1.
Para perto de :
Aqui, à medida que se aproxima de 2 por valores menores que 2 (da esquerda), tende a valores negativos muito grandes (como -5, -10, -20). Quando se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (da direita), tende a valores positivos muito grandes (como 20, 10, 5). Isso sugere que está crescendo sem limite à medida que se aproxima de 2 de cada lado.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os limites existem nesses pontos.
Para em :
Como está se aproximando de um valor específico à medida que se aproxima de 1, o limite existe. Podemos calcular diretamente substituindo na função:
Então, .
Para em :
Observando a tabela, vemos que, à medida que se aproxima de 2 pela esquerda, tende a . Pela direita, tende a . Como os limites laterais não são iguais (um vai para menos infinito e o outro para mais infinito), o limite geral não existe em .

Passo 6

Vamos relacionar os valores das tabelas com os limites laterais.
Para :
Os valores de se aproximam de -1 tanto pela esquerda quanto pela direita de . Isso significa que os limites laterais são iguais e, portanto, o limite geral existe.
Para :
Os valores de mostram que, ao se aproximar de 2 pela esquerda, os valores ficam cada vez mais negativos, e ao se aproximar pela direita, ficam cada vez mais positivos. Isso indica que os limites laterais são diferentes (um vai para e o outro para ), o que confirma que o limite geral não existe.

Passo 7

Vamos discutir se podemos aplicar os teoremas de limites para calcular esses limites.
Para :
Sim, podemos aplicar os teoremas de limites. é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Portanto, podemos simplesmente substituir para encontrar o limite.
Para :
Neste caso, não é definida em . Além disso, como os limites laterais são diferentes e tendem a infinito, os teoremas de limites que lidam com continuidade não se aplicam aqui para determinar um limite finito.

Passo 8

Agora que analisamos tudo, é legal discutir esses resultados com seus colegas! Compartilhar diferentes perspectivas pode ajudar a consolidar o entendimento sobre limites e comportamento de funções. Pergunte a eles o que observaram nas tabelas, como interpretaram os limites e se concordam com as conclusões sobre a existência dos limites e a aplicabilidade dos teoremas.

Resposta

Finalizando, encontramos que:
(a) se aproxima de -1 quando se aproxima de 1, enquanto cresce sem limite positivo ou negativo quando se aproxima de 2.
(b) O limite de em existe e é igual a -1. Já não possui limite em , pois os limites laterais são diferentes e tendem a infinito.
© As tabelas mostraram que os valores de se aproximam de um único valor, alinhando-se com o conceito de limite geral. Para , os valores se afastam negativamente pela esquerda e positivamente pela direita, ilustrando os limites laterais distintos.
(d) Podemos aplicar os teoremas de limites para devido à sua continuidade, mas não para em devido à descontinuidade e aos limites laterais divergentes.
(e) É importante discutir esses resultados com colegas para fortalecer a compreensão e esclarecer dúvidas sobre limites e comportamento de funções.

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Sendo e , determine:
f)
Sendo e , determine:
b)
Sendo e , determine:
h)
Determine os produtos:
h)