a) Suponha que é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo na parte a). Temos uma curva fechada que é simples (não se cruza) e não envolve a origem. O problema quer que a gente use o Teorema de Green para encontrar o valor da integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green.

Passo 4

Substituindo na integral dupla:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Como a integral dupla é zero, pelo Teorema de Green, a integral de linha também é zero:

Resposta

a) Quando é uma curva fechada simples que não envolve a origem, a integral vale 0.

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e uma região calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a) é o disco .
b) é o retângulo limitado por e .
c) é o quadrado com vértices e .
d) é a região semicircular .
e) é a região elíptica .
f) é a região dentro do círculo e fora do círculo
é conservativo?
Resolva o seguinte P.V.I.: .
a) Encontre a solução Geral.
Resolva o seguinte P.V.I.:
a) Encontre a Solução Geral.