a) Suponha que é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo na parte a). Temos uma curva fechada que é simples (não se cruza) e não envolve a origem. O problema quer que a gente use o Teorema de Green para encontrar o valor da integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green.
Passo 4
Substituindo na integral dupla:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Como a integral dupla é zero, pelo Teorema de Green, a integral de linha também é zero:
Resposta
a) Quando é uma curva fechada simples que não envolve a origem, a integral vale 0.