a) Suponha que C é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
ointC x d x+y d yx^2+y^2
b) Agora, suponha que C é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
ointC x d x+y d yx^2+y^2 ?
Explique.
c) Sejam C1 e C2 duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
ointC1 x d x+y d yx^2+y^2=ointC2 x d x+y d yx^2+y^2
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
ointC x d x+y d yx^2+y^2
onde C é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo na parte a). Temos uma curva fechada ointC x, dx + y, dyx^2 + y^2 que é simples (não se cruza) e não envolve a origem. O problema quer que a gente use o Teorema de Green para encontrar o valor da integral de linha:
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo a integrais de linha desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC (P, dx + Q, dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, temos:
P = xx^2 + y^2 e Q = yx^2 + y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( yx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green.

Passo 4

Substituindo na integral dupla:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 - ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0

Passo 5

Como a integral dupla é zero, pelo Teorema de Green, a integral de linha também é zero:
ointC x, dx + y, dyx^2 + y^2 = 0

Resposta

a) Quando é uma curva fechada simples que não envolve a origem, a integral vale 0.

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