Passo 1

Então, a gente tem uma função aí pra analisar: . Vamos trabalhar com funções quadráticas e valores absolutos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como quebrar a função em partes onde os valores absolutos mudam de comportamento e então encontrar onde a função atinge seu valor mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde os valores dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando e quando .
  • Para :
  • Para :
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos:

Passo 3

Vamos reescrever a função em cada um desses intervalos, eliminando os valores absolutos.
  1. Para :
    • (porque é positivo)
    • (porque é negativo)
    Então,
  2. Para :
    • (porque é positivo)
    • (porque é positivo)
    Então,
  3. Para :
    • (porque é negativo)
    • (porque é positivo)
    Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar o mínimo de cada uma dessas funções quadráticas em seus respectivos intervalos.
  1. Para , :
    • O vértice da parábola está em , mas como , o mínimo nesse intervalo está no ponto mais à direita, ou seja, em .
  2. Para , :
    • Essa é uma parábola aberta para cima, o mínimo ocorre no vértice.
    • O vértice está em , mas fora do intervalo, então o mínimo no intervalo é em .
  3. Para , :
    • O vértice está em , mas fora do intervalo, então o mínimo no intervalo é no ponto mais à esquerda, ou seja, em .

Passo 5

Comparando os mínimos de cada intervalo:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
O menor valor entre esses é 2, que ocorre em .

Resposta

O valor mínimo da função é 2, atingido quando .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da voltagem no circuito se uma chave for ligada no instante e 120 volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para em termos de .