Passo 1
Então, a gente tem uma função aí pra analisar:
. Vamos trabalhar com funções quadráticas e valores absolutos. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como quebrar a função em partes onde os valores absolutos mudam de comportamento e então encontrar onde a função atinge seu valor mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde os valores dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando
e quando
.
- Para
: - Para
:
Esses pontos dividem a reta dos números reais em três intervalos:
Passo 3
Vamos reescrever a função
em cada um desses intervalos, eliminando os valores absolutos.
-
Para
: -
(porque é positivo) -
(porque é negativo)
Então, -
-
Para
: -
(porque é positivo) -
(porque é positivo)
Então, -
-
Para
: -
(porque é negativo) -
(porque é positivo)
Então, -
Passo 4
Agora, vamos encontrar o mínimo de cada uma dessas funções quadráticas em seus respectivos intervalos.
-
Para
, : - O vértice da parábola está em
, mas como , o mínimo nesse intervalo está no ponto mais à direita, ou seja, em . -
- O vértice da parábola está em
-
Para
, : - Essa é uma parábola aberta para cima, o mínimo ocorre no vértice.
- O vértice está em
, mas fora do intervalo, então o mínimo no intervalo é em . -
-
Para
, : - O vértice está em
, mas fora do intervalo, então o mínimo no intervalo é no ponto mais à esquerda, ou seja, em . -
- O vértice está em
Passo 5
Comparando os mínimos de cada intervalo:
- Em
: - Em
: - Em
:
O menor valor entre esses é 2, que ocorre em
.
Resposta
O valor mínimo da função
é 2, atingido quando
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da voltagem
no circuito se uma chave for ligada no instante
e 120 volts forem aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma fórmula para
em termos de
.