a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função que você me passou:
. Esse tipo de função é chamado de função racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para entender melhor essa função, vamos precisar encontrar coisas como o domínio, interseções com os eixos, e assíntotas. Tudo isso vai ajudar a desenhar o gráfico e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na função racional, isso significa que o denominador não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos igualar o denominador a zero e resolver:
Isso significa que
faz o denominador ser zero, então não podemos ter
no domínio.
Conclusão: O domínio de
é todos os números reais exceto
. Em notação, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo
(onde
). Para achar isso, definimos
e resolvemos para
:
Uma fração só é zero quando o numerador é zero. Então:
Conclusão: A função intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 4
Vamos agora encontrar a interseção com o eixo
(onde
). Substituímos
na função:
Conclusão: A função intercepta o eixo
no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos descobrir as assíntotas. Primeiro, a assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero, pois a função vai “explodir” nesse ponto. Já vimos que isso acontece em
.
Conclusão: A função tem uma assíntota vertical na reta
.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos são de grau 1 nesse caso), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes.
Na função
, os coeficientes líderes são ambos 1 (o coeficiente de
no numerador e no denominador).
Conclusão: A função tem uma assíntota horizontal na reta
.
Resposta
Resumindo tudo, a função
tem:
- Domínio: Todos os números reais exceto
. - Interseção com o eixo
: Ponto . - Interseção com o eixo
: Ponto . - Assíntota Vertical: Reta
. - Assíntota Horizontal: Reta
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
a.
.
Determine o valor de
para que
seja contínua em
.
a.