Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função:
. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo, especificamente derivadas. Precisaremos conhecer as regras de derivação e entender como derivar funções que envolvem funções inversas como a arcoseno hiperbólico. Vamos calcular a derivada dessa função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em relação a
. Para derivar
, vamos precisar derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos começar derivando o primeiro termo:
. Aqui temos um produto de duas funções, então usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Identificamos
e
. Então, derivamos cada um:
-
(derivada de é 1) - Para
, sabemos que a derivada de é .
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos derivar o segundo termo da função original:
. A derivada de
é
. Aqui,
, então
.
Passo 7
Aplicando a derivada:
Passo 8
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
Observamos que os termos
se cancelam.
Passo 9
Portanto, a derivada simplificada é:
Resposta
A derivada de
é
.