f(x)=ccc x, & se & x <=-1 x^2+3 x, & se & -12
Calcule, caso exista,
& lim x 2^+ f(x), & lim x 2^- f(x), & lim x 2 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente tem uma função definida por partes:
f(x)=ccc x, & se & x <= -1 x^2+3x, & se & -1 < x <= 2 4x+1, & se & x > 2
Nosso objetivo é encontrar:
& lim x 2^+ f(x), & lim x 2^- f(x), & lim x 2 f(x)
Vamos precisar entender o que é limite lateral e como aplicar a definição de limite para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando lim x 2^+ f(x) = lim x 2^+ (4x + 1) = 4(2) + 1 = 8 + 1 = 9 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, .
Quando se aproxima de 2 pela direita ( ), usamos a parte da função definida por .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando lim x 2^- f(x) = lim x 2^- (x^2 + 3x) = (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, .
Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), usamos a parte da função definida por .
Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite geral lim x 2^+ f(x) = lim x 2^- f(x) .
Para esse limite existir, os limites laterais devem ser iguais. Ou seja, precisamos que:
lim x 2^+ f(x) = 9 lim x 2^- f(x) = 10
Mas vimos que:
Como 9 não é igual a 10, o limite geral não existe.

Resposta

  1. não existe.

Exercícios relacionados

Mostre, a partir da definição de limite, que:
(a) lim x 1 4 x+1=5
Encontre o valor exato de cada expressão.
(b) log_3(1/27).
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(5) lim x -1 e^x^2-1