Mostre, a partir da definição de limite, que:
(a) lim x 1 4 x+1=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de cálculo que pede para mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, a expressão se aproxima de 5. Vamos usar a definição de limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. A definição diz que:
limx to a f(x) = L
significa que para todo número pequeno , a gente consegue encontrar um número tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Nosso objetivo é encontrar um que funcione para qualquer dado.

Passo 3

Vamos começar aplicando a definição:
Queremos que:
|f(x) - L| = |4x + 1 - 5| = |4x - 4| = 4|x - 1| < epsilon
Para que isso aconteça, precisamos que:
4|x - 1| < epsilon

Passo 4

Agora, vamos isolar |x - 1| < epsilon4 :
de
Então, se definirmos:
então sempre que , teremos , que é exatamente o que queremos demonstrar.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
limx 1 4x + 1 = 5

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Calcule, caso exista,
& lim x 2^+ f(x), & lim x 2^- f(x), & lim x 2 f(x)
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0