Mostre que

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que mostrar que quando se aproxima de 0, a expressão tende a 0. Aqui, estamos lidando com limites e funções exponenciais, então vamos precisar entender como cada parte se comporta quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar . Sabemos que é menor que quando está perto de 0, então pode ser considerado uma pequena correção. Então, é aproximadamente , que é .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . O seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que o expoente da função exponencial também está entre -1 e 1.

Passo 4

Dado que está entre -1 e 1, temos que:
Isso mostra que está limitado entre e , ou seja, é uma funç��o limitada.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a expressão original pode ser aproximada por:
Como é limitado e tende a 0 quando tende a 0, o produto dessas duas partes também tende a 0.

Resposta

Portanto,

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Usando a definição de limite, demonstre que
(a)

é contínua em todos os pontos.
Defina limite lateral à direita e à esquerda de uma função real e ilustre estes conceitos graficamente.
Seja tal que
Mostre que é contínua em .