f(x) = { cos(x), x ≥ 0; e^x, x < 0 }
não é derivável em x = 0.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma função definida de forma diferente para valores de positivos e negativos:
O objetivo aqui é mostrar por que essa função não é derivável no ponto . Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular as derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se ela tem uma derivada bem definida nesse ponto. Isso significa que as derivadas pela esquerda e pela direita desse ponto devem existir e ser iguais.
Então, para ser derivável em , as seguintes condições devem ser satisfeitas:
  1. A derivada de para em deve existir.
  2. A derivada de para em deve existir.
  3. As duas derivadas devem ser iguais.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de para :
A derivada de é:
Então, a derivada à direita de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de para :
A derivada de é:
Então, a derivada à esquerda de é:

Passo 5

Agora que temos as derivadas pelas duas laterais, vamos comparar:
Como , as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais.

Resposta

Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são diferentes ( e ), a função não é derivável em .

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