não é derivável em
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma função definida de forma diferente para valores de
positivos e negativos:
O objetivo aqui é mostrar por que essa função não é derivável no ponto
. Para fazer isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular as derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se ela tem uma derivada bem definida nesse ponto. Isso significa que as derivadas pela esquerda e pela direita desse ponto devem existir e ser iguais.
Então, para
ser derivável em
, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
- A derivada de
para em deve existir. - A derivada de
para em deve existir. - As duas derivadas devem ser iguais.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
para
:
A derivada de
é:
Então, a derivada à direita de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
para
:
A derivada de
é:
Então, a derivada à esquerda de
é:
Passo 5
Agora que temos as derivadas pelas duas laterais, vamos comparar:
Como
, as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais.
Resposta
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são diferentes (
e
), a função
não é derivável em
.
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