a. f(x) = raiz(x(x - 2) / (x^2 + 1)).

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de essa função está definida. Isso envolve entender sobre raízes quadradas e frações, então vamos precisar saber como garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero e que o denominador da fração não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Sabemos que é sempre positivo ou zero, então nunca será zero. Isso significa que não temos problema com o denominador; ele está sempre positivo.

Passo 3

Agora, vamos focar no numerador dentro da raiz: . Para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Como o denominador é sempre positivo, a desigualdade depende apenas do numerador:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade . Para isso, encontramos os pontos onde a expressão é igual a zero:
Esses são os pontos críticos que dividem a reta numérica em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a desigualdade é verdadeira:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    (Verdadeiro)
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    (Falso)
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    (Verdadeiro)

Passo 5

Além disso, precisamos incluir os pontos onde a expressão é igual a zero, já que a desigualdade é . Portanto, e também fazem parte da solução.

Resposta

A função está definida para todos os valores de menores ou iguais a 0 e maiores ou iguais a 2. Em notação de intervalo:

Exercícios relacionados

f(x) = { cos(x), x ≥ 0; e^x, x < 0 }
não é derivável em x = 0.
a. f(x) = e^(-2 x / 3)
a. f(x) = (x^2 + raiz3(x^3 - 1))^5
2k = f(3) + 3f'(1) + 2f''(1)