pode ser o gradiente de uma função ? Por quê ou por que não?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos apresenta um campo vetorial definido por:
E pergunta se esse campo pode ser o gradiente de uma função . Ou seja, existe uma função tal que ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é o gradiente de alguma função , ele é chamado de conservativo. Uma característica importante dos campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Isso significa que:
Vamos verificar essas igualdades para o campo dado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando e :
Aqui, , tudo certo até aqui.
Calculando e :
Agora, , ou seja, .
Passo 4
Encontramos uma desigualdade nas derivadas parciais: . Isso viola a condição necessária para que seja um campo conservativo.
Resposta
Não, o campo vetorial não pode ser o gradiente de uma função , porque as derivadas parciais cruzadas não são iguais, indicando que o campo não é conservativo.