pode ser o gradiente de uma função ? Por quê ou por que não?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos apresenta um campo vetorial definido por:
E pergunta se esse campo pode ser o gradiente de uma função . Ou seja, existe uma função tal que ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é o gradiente de alguma função , ele é chamado de conservativo. Uma característica importante dos campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Isso significa que:
Vamos verificar essas igualdades para o campo dado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Calculando e :
    Aqui, , tudo certo até aqui.
  2. Calculando e :
    Agora, , ou seja, .

Passo 4

Encontramos uma desigualdade nas derivadas parciais: . Isso viola a condição necessária para que seja um campo conservativo.

Resposta

Não, o campo vetorial não pode ser o gradiente de uma função , porque as derivadas parciais cruzadas não são iguais, indicando que o campo não é conservativo.

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a.
b.
c.
d.
e.
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