pode ser o gradiente de uma função
? Por quê ou por que não?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos apresenta um campo vetorial
definido por:
E pergunta se esse campo pode ser o gradiente de uma função
. Ou seja, existe uma função
tal que
? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial
é o gradiente de alguma função
, ele é chamado de conservativo. Uma característica importante dos campos conservativos é que as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Isso significa que:
Vamos verificar essas igualdades para o campo
dado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Calculando
e : Aqui,, tudo certo até aqui. -
Calculando
e : Agora,, ou seja, .
Passo 4
Encontramos uma desigualdade nas derivadas parciais:
. Isso viola a condição necessária para que
seja um campo conservativo.
Resposta
Não, o campo vetorial
não pode ser o gradiente de uma função
, porque as derivadas parciais cruzadas não são iguais, indicando que o campo não é conservativo.