Partes real e imaginária Denote por a parte real de e a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos .
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das partes real e imaginária de números complexos. O que a gente precisa fazer é provar que várias relações envolvendo números complexos são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos, como a forma algébrica e o conjugado. Vamos resolver cada item passo a passo!
Passo 2
a.
Vamos começar entendendo o que cada termo representa:
é um número complexo que pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária.
é o conjugado de , que é .
representa a parte real de , que é .
Agora, somando e :
Então, mostramos que .
Passo 3
b.
Vamos usar os mesmos conceitos:
é a parte imaginária de , que �� .
Subtraindo de :
Assim, provamos que .
Passo 4
c.
Aqui queremos mostrar que o valor absoluto da parte real de é menor ou igual ao módulo de .
Sabemos que:
E:
Queremos provar que .
Como é sempre positivo ou zero:
Portanto:
Com isso, mostramos que .
Passo 5
d.
Vamos expandir o módulo ao quadrado de .
Primeiro, escrevemos:
Sabemos que:
Então:
Note que , porque a parte imaginária se cancela.
Portanto:
Assim, a relação está comprovada.
Passo 6
e.
Essa é a famosa Desigualdade Triangular, que diz que o módulo da soma de dois números complexos é menor ou igual à soma dos módulos individuais.
Para provar, usamos o resultado do ponto d:
Sabemos que (já que a parte real é no máximo o módulo).
Então:
Tirando a raiz dos dois lados:
Portanto, a desigualdade triangular está comprovada.
Resposta
Com isso, provamos todas as relações solicitadas para quaisquer números complexos e .