Partes real e imaginária Denote por Re(z) a parte real de z e Im(z) a parte imaginária. Mostre que as seguintes relações são válidas para quaisquer números complexos z, z1 e z2.
a. z + z-bar = 2 Re(z)
b. z - z barra = 2i Im(z)
c. |Re(z)| <= |z|
d. |z1 + z2|^2 = |z1|^2 + |z2|^2 + 2 Re(z1 * z2_bar)
e. |z1 + z2| <= |z1| + |z2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata das partes real e imaginária de números complexos. O que a gente precisa fazer é provar que várias relações envolvendo números complexos são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos, como a forma algébrica e o conjugado. Vamos resolver cada item passo a passo!

Passo 2

a.
Vamos começar entendendo o que cada termo representa:
  • é um número complexo que pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária.
  • é o conjugado de , que é .
  • representa a parte real de , que é .
Agora, somando e :
Então, mostramos que .

Passo 3

b.
Vamos usar os mesmos conceitos:
  • é a parte imaginária de , que �� .
Subtraindo de :
Assim, provamos que .

Passo 4

c.
Aqui queremos mostrar que o valor absoluto da parte real de é menor ou igual ao módulo de .
Sabemos que:
E:
Queremos provar que .
Como é sempre positivo ou zero:
Portanto:
Com isso, mostramos que .

Passo 5

d.
Vamos expandir o módulo ao quadrado de .
Primeiro, escrevemos:
Sabemos que:
Então:
Note que , porque a parte imaginária se cancela.
Portanto:
Assim, a relação está comprovada.

Passo 6

e.
Essa é a famosa Desigualdade Triangular, que diz que o módulo da soma de dois números complexos é menor ou igual à soma dos módulos individuais.
Para provar, usamos o resultado do ponto d:
Sabemos que (já que a parte real é no máximo o módulo).
Então:
Tirando a raiz dos dois lados:
Portanto, a desigualdade triangular está comprovada.

Resposta

Com isso, provamos todas as relações solicitadas para quaisquer números complexos e .

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