Raízes complexas de polinômios com coeficientes reais aparecem em pares de complexos conjugados
a. Estenda os resultados do Exercício 26 para mostrar que f(z) = barra(f(barra(z))) se
f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0
é um polinômio com coeficientes reais a0, ..., an.
b. Se z é uma raiz da equação f(z)=0, onde f(z) é um polinômio com coeficientes reais como no item (a), mostre que o conjugado z barra é também uma raiz da equação. (Sugestão: Seja f(z) = u + i v = 0; então, tanto u quanto v são zero. Utilize o fato de que f(z) = u - i v.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata das raízes complexas de polinômios com coeficientes reais. Precisamos mostrar que se temos um polinômio com esses coeficientes, então para qualquer raiz complexa , o seu conjugado também é uma raiz. Para resolver isso, vamos usar propriedades de polinômios e números complexos, como a conjugação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um polinômio com coeficientes reais:
Como os coeficientes são reais, ao tomar o conjugado de , cada termo fica assim:
Portanto, . Então, mostramos que .

Passo 3

Agora, para a segunda parte, suponha que é uma raiz do polinômio, ou seja, . Escrevendo , onde e são partes reais e imaginárias, respectivamente. Isso implica que e .
Usando o que mostramos no Passo 2, temos:
Então, , o que significa que também é uma raiz do polinômio.

Resposta

Demonstramos que se é uma raiz de , então o conjugado também é uma raiz desse polinômio.

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