Raízes complexas de polinômios com coeficientes reais aparecem em pares de complexos conjugados
a. Estenda os resultados do Exercício 26 para mostrar que se
é um polinômio com coeficientes reais .
b. Se é uma raiz da equação , onde é um polinômio com coeficientes reais como no item (a), mostre que o conjugado é também uma raiz da equação. (Sugestão: Seja ; então, tanto quanto são zero. Utilize o fato de que .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata das raízes complexas de polinômios com coeficientes reais. Precisamos mostrar que se temos um polinômio com esses coeficientes, então para qualquer raiz complexa , o seu conjugado também é uma raiz. Para resolver isso, vamos usar propriedades de polinômios e números complexos, como a conjugação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um polinômio com coeficientes reais:
Como os coeficientes são reais, ao tomar o conjugado de , cada termo fica assim:
Portanto, . Então, mostramos que .
Passo 3
Agora, para a segunda parte, suponha que é uma raiz do polinômio, ou seja, . Escrevendo , onde e são partes reais e imaginárias, respectivamente. Isso implica que e .
Usando o que mostramos no Passo 2, temos:
Então, , o que significa que também é uma raiz do polinômio.
Resposta
Demonstramos que se é uma raiz de , então o conjugado também é uma raiz desse polinômio.