a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da derivada para a função co-secante e também aplicar a regra da cadeia, já que temos uma função composta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função co-secante. A derivada de em relação a é . Ou seja,
Isso é importante porque nossa função é uma função composta, onde .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta , sua derivada é . No nosso caso, , então vamos derivar em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia à nossa função :
Substituindo de volta na expressão, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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f)
f)
k)