k) f(x)=(cossec x+cotg x)^-1 R: f^prime(x)=cossec xcotg x+cosec x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função . Estamos falando de derivadas de funções trigonométricas, então vamos precisar usar as regras de derivação e lembrar das identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que f(x) = 1csc x + cot x pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivar f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 . A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u'(x) = 0 e v(x) = csc x + cot x :
ddx csc x = -csc x cot x
ddx cot x = -csc^2 x
Para v'(x) = -csc x cot x - csc^2 x , sabemos que:
Então,

Passo 5

Substituindo f'(x) = 0 cdot (csc x + cot x) - 1 cdot (-csc x cot x - csc^2 x)(csc x + cot x)^2 , f'(x) = csc x cot x + csc^2 x(csc x + cot x)^2 , e na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Vamos fatorar f'(x) = csc x (cot x + csc x)(csc x + cot x)^2 no numerador:
f'(x) = csc x (cot x + csc x)(cot x + csc x)^2 = csc xcot x + csc x
Observamos que , então podemos simplificar:

Resposta

f^prime(x) = csc xcot x + csc x

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