Seja . Verifique se: é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função , que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de , é contínua em . Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em ?
Sim, já que para , . Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, chegando a 1 vindo de valores menores que 1:
Para , . Então,

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite da função quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, chegando a 1 vindo de valores maiores ou iguais a 1:
Para , . Então,

Passo 6

Agora, verificamos a terceira condição da continuidade:
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é 1, o limite pela direita também é 1, e o valor da função em 1 é 1. Portanto,

Resposta

A função é contínua em .

Exercícios relacionados

Se e , determine usando a derivada da função inversa.
Calcule os limites abaixo:
Seja . Determine a função e o seu domínio.
Seja . Verifique se: é derivável em .