Seja
. Verifique se:
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
, que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
, é contínua em
. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular os limites à esquerda e à direita desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em
?
Sim, já que para ,
. Então,
.
Sim, já que para
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
chegando a 1 vindo de valores menores que 1:
Para ,
. Então,
Para
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite da função quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
chegando a 1 vindo de valores maiores ou iguais a 1:
Para ,
. Então,
Para
Passo 6
Agora, verificamos a terceira condição da continuidade:
O limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é 1, o limite pela direita também é 1, e o valor da função em 1 é 1. Portanto,
O limite quando
Resposta
A função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Se
e
, determine
usando a derivada da função inversa.
Calcule os limites abaixo:
Seja
. Determine a função
e o seu domínio.
Seja
. Verifique se:
é derivável em
.