Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função no intervalo . Nosso objetivo aqui é analisar essa função dentro desse intervalo. Vamos precisar entender o que é a cotangente, como ela se comporta no intervalo dado e talvez calcular limites ou derivadas se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a cotangente. A cotangente de , escrita como , é o cosseno de dividido pelo seno de :
Isso é importante porque nos ajuda a entender como a função se comporta com base nos valores de seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o intervalo . Sabemos que:
  • Quando , e , então .
  • À medida que se aproxima de , se aproxima de 0 e se aproxima de 1, então se aproxima de 0.

Passo 4

Vamos agora determinar o limite de quando se aproxima de pela esquerda:
Isso confirma que a função diminui de 1 para 0 nesse intervalo.

Passo 5

Se quisermos, também podemos calcular a derivada de para entender a taxa de variação da função:
A derivada é sempre negativa nesse intervalo, o que significa que a função está sempre decrescendo de para .

Passo 6

Resumindo o que vimos:
  • A função começa em 1 quando .
  • À medida que aumenta até , diminui continuamente até se aproximar de 0.
  • A derivada negativa confirma que a função está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

No intervalo , a função é contínua e decrescente, variando de 1 a 0.

Exercícios relacionados