Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
no intervalo
. Nosso objetivo aqui é analisar essa função dentro desse intervalo. Vamos precisar entender o que é a cotangente, como ela se comporta no intervalo dado e talvez calcular limites ou derivadas se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a cotangente. A cotangente de
, escrita como
, é o cosseno de
dividido pelo seno de
:
Isso é importante porque nos ajuda a entender como a função se comporta com base nos valores de seno e cosseno.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o intervalo
. Sabemos que:
- Quando
, e , então . - À medida que
se aproxima de , se aproxima de 0 e se aproxima de 1, então se aproxima de 0.
Passo 4
Vamos agora determinar o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda:
Isso confirma que a função diminui de 1 para 0 nesse intervalo.
Passo 5
Se quisermos, também podemos calcular a derivada de
para entender a taxa de variação da função:
A derivada é sempre negativa nesse intervalo, o que significa que a função está sempre decrescendo de
para
.
Passo 6
Resumindo o que vimos:
- A função
começa em 1 quando . - À medida que
aumenta até , diminui continuamente até se aproximar de 0. - A derivada negativa confirma que a função está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
No intervalo
, a função
é contínua e decrescente, variando de 1 a 0.