Seja f(x)=cx^2+1 , se x<1 (x-2)^2 , se x >= 1.
Encontre lim x 1- f(x) e lim x 1+ f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, que muda de acordo com o valor de . O que a gente precisa encontrar são os limites dessa função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Para isso, vamos usar o conceito de limites de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = x^2 + 1 & se x < 1 (x - 2)^2 & se x >= 1 . Ela é definida assim:
Isso significa que para valores de menores que 1, usamos , e para valores iguais ou maiores que 1, usamos .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . Como estamos chegando por valores menores que 1, usamos a primeira parte da função: .

Passo 4

Substituímos limx to 1^- f(x) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 por 1 na expressão :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Como estamos chegando por valores maiores ou iguais a 1, usamos a segunda parte da função: .

Passo 6

Substituímos limx to 1^+ f(x) = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 por 1 na expressão :

Resposta

limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 1

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