e)
, em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente quer analisar essa função no ponto
. Para isso, vamos verificar se a função é contínua e se tem derivada nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Passo 5
Como os dois limites são iguais a 1, e sabemos que
precisa ser definido para a continuidade. Se
for igual a 1, a função é contínua em
. Caso contrário, não é contínua.
Passo 6
Assumindo que
, a função é contínua em
. Agora, vamos ver se a função tem derivada nesse ponto.
Passo 7
Para ter derivada em
, os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais.
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Então, em
:
Passo 8
Comparando as derivadas:
Como os limites das derivadas são diferentes, a função não tem derivada em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não possui derivada nesse ponto.
Exercícios relacionados
Seja
a) Determine e
a) Determine
a) Explique por que os limites
e
não existem.
l)
a)