e) , em

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por partes:
E a gente quer analisar essa função no ponto . Para isso, vamos verificar se a função é contínua e se tem derivada nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Como os dois limites são iguais a 1, e sabemos que precisa ser definido para a continuidade. Se for igual a 1, a função é contínua em . Caso contrário, não é contínua.

Passo 6

Assumindo que , a função é contínua em . Agora, vamos ver se a função tem derivada nesse ponto.

Passo 7

Para ter derivada em , os limites das derivadas pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais.
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Então, em :

Passo 8

Comparando as derivadas:
Como os limites das derivadas são diferentes, a função não tem derivada em .

Resposta

A função é contínua em , mas não possui derivada nesse ponto.

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Seja
a) Determine e
a) Explique por que os limites e não existem.
l)
a)