Seja f(x)=x^2+x-6|x-2|
a) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os limites laterais da função quando se aproxima de 2 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Para isso, vamos usar conceitos de limites e como valores absolutos funcionam nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . O numerador é , que pode ser fatorado. Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de duas expressões menores.

Passo 3

Fatorando o numerador:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Então, a função fica:
f(x) = (x + 3)(x - 2)|x - 2|

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador . O valor absoluto muda dependendo se é maior ou menor que 2. Isso nos leva a considerar os limites laterais separadamente.

Passo 5

Para |x - 2| = x - 2 (pela direita):
Quando f(x) = (x + 3)(x - 2)x - 2 = x + 3 se aproxima de 2 por valores maiores que 2, limx to 2^+ f(x) = 2 + 3 = 5 é positivo. Então:
Substituindo na função:
Agora, podemos calcular o limite:

Passo 6

Para |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x (pela esquerda):
Quando f(x) = (x + 3)(x - 2)2 - x = (x + 3)(x - 2)-(x - 2) = -(x + 3) se aproxima de 2 por valores menores que 2, limx to 2^- f(x) = -(2 + 3) = -5 é negativo. Então:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite:

Resposta

limx to 2^+ f(x) = 5 e limx to 2^- f(x) = -5

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