Sabe-se que os fluocarbonetos reduzem a concentração de ozônio na atmosfera superior. Suponha que cientistas cheguem à conclusão de que uma quantidade
de ozônio na atmosfera é reduzida em
a cada ano, de modo que após
anos, a quantidade que resta é dada por:
na qual
é a quantidade inicial de Ozônio
a) Quantos anos são necessários pra que a quantidade de ozônio se reduza à metade da quantidade inicial? Resp: 462,1 anos
a) Quantos anos são necessários pra que a quantidade de ozônio se reduza à metade da quantidade inicial? Resp: 462,1 anos
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Aqui, estamos trabalhando com decrescimento exponencial, que é um conceito da matemática usado para modelar situações onde uma quantidade diminui a uma taxa proporcional ao seu valor atual. No nosso caso, a quantidade de ozônio na atmosfera diminui 0,15% a cada ano. Para resolver esse problema, vamos precisar usar a função exponencial e o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação fornecida no exercício:
Queremos encontrar o tempo
necessário para que a quantidade de ozônio
seja reduzida à metade da quantidade inicial
. Então, configuramos a equação para
:
Passo 3
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, para resolver para
, vamos usar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Sabemos que
.
Passo 5
Substituímos e resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Calculando o valor:
Sabemos que
. Então,
Resposta
Serão necessários aproximadamente 462,1 anos para que a quantidade de ozônio se reduza à metade da quantidade inicial.
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$x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4 e}) $