Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a)
não existe
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é positiva para todo
diferente de 0, ou seja,
para
. Além disso, sabemos que
. O exercício quer que a gente verifique se a afirmativa
não existe é verdadeira ou falsa. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando
se aproxima de um valor. O limite
existe se, ao nos aproximarmos de
por valores menores e maiores que
, a função tende para o mesmo valor. Se os limites laterais são iguais, o limite existe.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função perto de
. Sabemos que
para todo
, incluindo perto de 2. Isso significa que, quando
se aproxima de 2,
está sempre acima de zero.
Passo 4
Porém, temos que
, que é um valor negativo. Isso parece estranho, porque estamos dizendo que perto de 2,
é positivo, mas exatamente em 2, o valor é negativo. Isso sugere que há uma descontinuidade em
.
Passo 5
Mas, para o limite existir, o que importa é o comportamento quando
se aproxima de 2, não exatamente em 2. Como
perto de 2, podemos concluir que
existe e é um valor positivo.
Passo 6
Portanto, a afirmativa que o limite não existe é falsa, pois o limite realmente existe e é positivo, mesmo que
seja negativo.
Resposta
A afirmativa é falsa. O limite
existe e é um valor positivo, apesar de
.