Se para todo e , verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é positiva para todo diferente de 0, ou seja, para . Além disso, sabemos que . O exercício quer que a gente verifique se a afirmativa não existe é verdadeira ou falsa. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando se aproxima de um valor. O limite existe se, ao nos aproximarmos de por valores menores e maiores que , a função tende para o mesmo valor. Se os limites laterais são iguais, o limite existe.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa função perto de . Sabemos que para todo , incluindo perto de 2. Isso significa que, quando se aproxima de 2, está sempre acima de zero.
Passo 4
Porém, temos que , que é um valor negativo. Isso parece estranho, porque estamos dizendo que perto de 2, é positivo, mas exatamente em 2, o valor é negativo. Isso sugere que há uma descontinuidade em .
Passo 5
Mas, para o limite existir, o que importa é o comportamento quando se aproxima de 2, não exatamente em 2. Como perto de 2, podemos concluir que existe e é um valor positivo.
Passo 6
Portanto, a afirmativa que o limite não existe é falsa, pois o limite realmente existe e é positivo, mesmo que seja negativo.
Resposta
A afirmativa é falsa. O limite existe e é um valor positivo, apesar de .