Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim x 2 f(x) não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é positiva para todo diferente de 0, ou seja, para . Além disso, sabemos que . O exercício quer que a gente verifique se a afirmativa não existe é verdadeira ou falsa. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções próximas a um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função quando se aproxima de um valor. O limite existe se, ao nos aproximarmos de por valores menores e maiores que , a função tende para o mesmo valor. Se os limites laterais são iguais, o limite existe.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa função perto de . Sabemos que para todo , incluindo perto de 2. Isso significa que, quando se aproxima de 2, está sempre acima de zero.

Passo 4

Porém, temos que , que é um valor negativo. Isso parece estranho, porque estamos dizendo que perto de 2, é positivo, mas exatamente em 2, o valor é negativo. Isso sugere que há uma descontinuidade em .

Passo 5

Mas, para o limite existir, o que importa é o comportamento quando se aproxima de 2, não exatamente em 2. Como perto de 2, podemos concluir que existe e é um valor positivo.

Passo 6

Portanto, a afirmativa que o limite não existe é falsa, pois o limite realmente existe e é positivo, mesmo que seja negativo.

Resposta

A afirmativa é falsa. O limite existe e é um valor positivo, apesar de .

Exercícios relacionados

Para a função f definida por f(x) = {-raiz(2 - x), x < 1; a*x + b, 1 <= x < 2; |x^2 - 7*x + 12|, x >= 2}
(a) Determine os valores de a e b para que seja contínua em R
f(s) = raiz((s^2 + 1) / (s^2 + 4))
Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(b) lim x 2 f(x)=-3
Se f(x)>0 para todo x neq 0 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, justifique. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
© Se existir lim x 2 f(x) é positivo